DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER 9. Sınıf Konu Anltımı Özeti

9. Sınıf Denklem ve Eşitsizlikler konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Başlıklar

Sayı Kümeleri

\mathbb{N}={0,1,2,3, \ldots} — Sayı Kümesi

\mathbb{Z}={\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots} — Sayı Kümesi

$\mathbb{Z}= \mathbb{Z}^{+} u \mathbb{Z}^{-}$

Pozitif rasyonel sayılar kümesi $\mathbb{Q}^{+}$ , negatif rasyonel sayılar kümesi $\mathbb{Q}^{-}$ sembolleri ile gösterilir.

Pozitif gerçek sayılar kümesi $\mathbb{R}^{+}$ , negatif gerçek sayılar kümesi $\mathbb{R}^{-}$ sembolleri ile gösterilir.

$\mathbb{R} = \mathbb{R}^{+} u \lbrace 0 \rbrace \mathbb{R}^{+}$ İrrasyonel sayıların ondalık kısımları herhangi bir tekrarlama olmaksızın sonsuza kadar devam etmektedir.

Gerçek Sayılar Kümesinde Toplama İşleminin Özellikleri

$\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}, \mathbb{Q} \cap \mathbb{Q}^{\prime}=\varnothing$ ve $\mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}^{\prime}=\mathbb{R}$ tir.

Gerçek sayılar kümesi üzerinde toplama işleminin kapalılık özelliği vardır. Yani $\forall a, b \in \mathbb{R}$ için $a+b \in \mathbb{R}$ dir.
Gerçek sayılar kümesi üzerinde toplama işleminin değişme özelliği vardır. Yani $\forall a, b \in \mathbb{R}$ için $a+b=b+a$ tir.
Gerçek sayılar kümesi üzerinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır. Yani $\forall a, b, c \in \mathbb{R}$ için $a+(b+c)=(a+b)+c$ tir.
$\forall \mathrm{a} \in \mathbb{R}$ için $\mathrm{a}+0=0+\mathrm{a}=\mathrm{a}$ olduğundan gerçek sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz elemanı 0 ‘dır.
$\forall a \in \mathbb{R}$ için $a+(-a)=(-a)+a=0$ dir. O halde a gerçek sayısının toplama işlemine göre tersi (-a) sayısıdır.

Gerçek sayılar kümesi üzerinde çarpma işleminin kapalılık özelliği vardır. Yani $\forall \mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{R}$ için $\mathrm{a} \cdot \mathrm{b} \in \mathbb{R}$ dir.
Gerçek sayılar kümesi üzerinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır. Yani $\forall \mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{R}$ için $\mathrm{a} \cdot \mathrm{b}=\mathrm{b} \cdot \mathrm{a}$ tir.
Gerçek sayılar kümesi üzerinde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. Yani $\forall \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} \in \mathbb{R}$ için $\mathrm{a} \cdot(\mathrm{b} \cdot \mathrm{c})=(\mathrm{a} \cdot \mathrm{b}) \cdot \mathrm{c}$ tir.
$\forall a \in \mathbb{R}$ için $\mathrm{a} \cdot 1=1 \cdot \mathrm{a}=\mathrm{a}$ olduğundan gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin etkisiz elemanı 1 ‘dir.
$\forall a \in \mathbb{R}$ için $a \cdot 0=0 \cdot a=0$ olduğundan gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin yutan elemanı 0 ‘dır.
$\mathrm{a} \neq 0$ olmak üzere $\forall \mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{R}$ için $\mathrm{a} \cdot \frac{1}{\mathrm{a}}=\frac{1}{\mathrm{a}} \cdot \mathrm{a}=1$ tir. $\mathrm{O}$ hâlde a gerçek sayısının çarpma işlemine göre tersi $\frac{1}{\mathrm{a}}$ sayısıdır.

Gerçek sayılar kümesinde 0 ın çarpma işlemine göre tersi yoktur

$\forall a, b, c \in \mathbb{R}$ için $a \cdot(b+c)=a \cdot b+a \cdot c v e(b+c) \cdot a=b \cdot a+c \cdot a$ olduğundan gerçek sayılar kümesi üzerinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

$\forall a,b,c \in \mathbb{R}$ için a . (b + c) = a . b + a . c ve (b + c) . a = b . a + c . a olduğundan gerçek sayılar kümesi üzerinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

Gerçek sayılar, sayı doğrusunda gösterildiğinde sayı doğrusundaki her bir nokta tek bir gerçek sayıyı temsil eder ve gerçek sayılar kümesinin her elemanına sayı doğrusunda tek bir nokta karşılık gelir. Yani sayı doğrusu gerçek sayılar kümesinin geometrik temsilidir. $\mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathbb{R}$ olmak üzere koordinat sistemindeki her bir nokta (x, y) sıralı ikilisini temsil eder ve her (x, y) sırall ikilisi koordinat sisteminde bir noktaya karşılık gelir. Yani koordinat sistemi $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ nin geometrik temsilidir.

Bölünebilme Kuralları

Bölünebilme kuralları, matematikte sayıların bölünebilme özelliklerini ve ilişkilerini açıklayan önemli kurallardır. Bu kurallar, sayıların bölünme işlemlerinde hangi sayılara tam bölündüğünü veya bölünemediğini belirlememize yardımcı olur. Bölünebilme kuralları, sayıların asal çarpanları, bölenleri, bölenlerin toplamı ve sayılar arasındaki bölen ilişkilerini içerir.

Tam Sayılarda Bölünebilme Kurallar

2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 ve 11 sayılarının bölünebilme kuralları, bu sayıların hangi koşullarda tam olarak bölünebildiğini ve bölünemediğini bahsedeceğiz.

2 ile Bölünebilme

Bir sayı 2’ye tam bölünebilmesi için son basamağının 0, 2, 4, 6 veya 8 olması gerekir. Yani, bir sayının son basamağı çift bir rakam olmalı. Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 olur.

3 ile Bölünebilme

Bir sayı 3’e tam bölünebilmesi için rakamlarının toplamının 3’e tam bölünebilmesi gerekir. Örneğin, 2+1=3 olduğu için 21 sayısı 3’e tam bölünebilir.

4 ile Bölünebilme

Bir sayı 4’e tam bölünebilmesi için son iki basamağının oluşturduğu sayının 4’e tam bölünebilmesi gerekir. Sayının son iki basamağındaki sayının 4 ile bölümünden elde edilen kalana eşittir. Örneğin, 36 sayısı 4’e tam bölünebilir çünkü 36’nın 4’e bölümünden kalan 0’dır.

5 ile Bölünebilme

Bir sayı 5’e tam bölünebilmesi için son basamağının 0 veya 5 olması gerekmekir.
Bir tam sayının 5 ile bölümünden kalan, bu sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden elde edilen kalana eşittir.

8 ile Bölünebilme

Bir sayı 8’e tam bölünebilmesi için son üç basamağının oluşturduğu sayının 8’e tam bölünebilmesi gerekir. Örneğin, 216 sayısı 8’e tam bölünebilir çünkü 216’nın 8’e bölümünden kalan 0’dır.

9 ile Bölünebilme

Bir sayı 9’a tam bölünebilmesi için rakamlarının toplamının 9’a tam bölünebilmesi gerekir. Örneğin, 27 sayısı 9’a tam bölünebilir çünkü 2+7=9 olduğu için rakamlarının toplamı 9’dur.

10 ile Bölünebilme

Bir sayı 10’a tam bölünebilmesi için son basamağının 0 olması gerekir. Bir tam sayının 10 ile bölümünden kalan, bu sayının birler basamağındaki rakama eşittir.
111/10 = 1

11 ile Bölünebilme

Bir sayı 11’e tam bölünebilmesi için rakamlarının sırasıyla toplanıp çıkarılmasının sonucunun 11’e tam bölünebilmesi gerekmektedir. Örneğin, 143 sayısı 11’e tam bölünebilir çünkü 1-4+3=0 olduğu için toplam 11’e tam bölünebilir.

11 ile bölünebilme örneği:
1531232 sayısı 11 ile bölünür mü?
1 5 3 1 2 3 2 şeklinde ayırıyoruz
Birinci toplam = 1+3+2+2 = 8
İkinci toplam = 5+1+3 = 9
Toplamlar farkı = 8- 9 = -1
Eksi çıkan sonuçlara 11 ekliyoruz. => -1+11 = 10
10 sayısı 11 in katı olmadığı için 11 ile tam bölünmez.
1531232 sayısının 11 ile bölümünden kalan 10 dur.

Aralarında Asal Sayıların Bölünme Kuralı

a ve b arasında asal sayılar olan pozitif tam sayılardır. Bu durumda, a ve b sayılarına kalansız bölünebilen bir tam sayı, a-b sayısına da kalansız bölünecektir.
Asal sayılar, 1 hariç, pozitif tam sayıların ortak böleni olmayan iki sayıdır.
Ardışık pozitif tam sayılar aralarında asaldır.
1 ile tüm pozitif tam sayılar aralarında asaldır.

Tam Sayılarda EBOB ve EKOK

En büyük ortak bölen (EBOB) ve en küçük ortak kat (EKOK), en az biri sıfırdan farklı iki veya daha fazla tam sayının pozitif ortak bölenlerinin veya ortak katlarının özelliklerini tanımlar. EBOB(a, b) ile a ve b’nin en büyük ortak bölenini, EKOK(a, b) ile ise en küçük ortak katını ifade ederiz. Bu kavramlar, sayıların ortak bölme ve katlama özelliklerine dayanır ve matematikte önemli bir rol oynar.

Eğer a ve b aralarında asal iki pozitif tam sayı ise, EBOB(a, b) = 1 ve EKOK(a, b) = a * b olur.

Birbirlerinin katları olan tam sayılar için, EBOB bu sayılardan küçük olan sayıya eşit olurken, EKOK ise büyük olan sayıya eşittir.

a ve b pozitif tam sayıları için a * b = EBOB(a, b) + EKOK(a, b) şeklinde bir ilişki vardır.

Birinci Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

Birinci dereceden denklemler ve eşitsizlikler, matematikte temel öneme sahip bir konudur ve çeşitli problemlerin çözümünde sıkça kullanılır. Bu tür denklemler ve eşitsizlikler genellikle doğrusal ilişkileri ifade etmek için kullanılır. İki bilinmeyenli denklemler veya eşitsizlikler genellikle x ve y gibi değişkenlerle ifade edilir.

Gerçek Sayılar Kümesinde Aralık Kavram

Sayı doğrusu üzerinde birbirinden farklı iki noktanın arasındaki tüm gerçek sayılardan oluşan alt kümeye “aralık” denir.

Aralıklar, uç noktaların dahil edilip edilmemesine bağlı olarak farklı isimler alır. [a, b), (a, b], [a, b] ve (a, b) şeklindeki gösterimlerde a ve b gerçek sayıları aralığın uç noktalarını temsil eder.

Örneğin, [2, 5) aralığı, 2 dahil olmak üzere 5 hariç olmak üzere tüm gerçek sayıları içerir. (3, 7] aralığı ise 3 hariç olmak üzere 7 dahil olmak üzere tüm gerçek sayıları içerir.

Kapalı aralık, $a$ ve $b$ gerçek sayıları olmak üzere $a \leq x \leq b$ şeklinde ifade edilen kümedir ve $[a, b]$ şeklinde gösterilir. Örneğin, $[1, 3]$ aralığı, 1 ve 3 dahil olmak üzere bu sayılar arasındaki tüm gerçek sayıları içerir.

Açık aralık ise, $a$ ve $b$ gerçek sayıları olmak üzere $a < x < b$ şeklinde ifade edilen kümedir ve $(a, b)$ şeklinde gösterilir. Örneğin, $(0, 2)$ aralığı, 0 ve 2 arasındaki ancak bu sayıları dahil etmeyen tüm gerçek sayıları içerir.

Yarı açık aralık, $a$ ve $b$ gerçek sayıları olmak üzere $a \leq x < b$ veya $a < x \leq b$ şeklinde ifade edilen kümedir ve $(a, b]$ veya $[a, b)$ şeklinde gösterilir. Örneğin, $[2, 5)$ aralığı, 2 dahil olmak üzere 5 hariç olmak üzere tüm gerçek sayıları içerir.

Uç noktaları sınırlanmayan aralıklar, $a \in \mathbb{R}$ olmak üzere $(a, \infty)$ , $[a, \infty)$ , $(-\infty, a)$ , $(-\infty, a]$ şeklinde gösterilir.

$A u B = \lbrace x\lvert x\in A\vee x\in B\rbrace$
$A n B = \lbrace x\lvert x\in A\wedge x\in B\rbrace$

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizliklerin Çözüm Kümeler

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler ve eşitsizlikler, matematiksel problemleri çözerken sıkça karşılaştığımız temel konulardır. Bu tür denklemler ve eşitsizlikler, bir bilinmeyenin en fazla birinci dereceden bir polinom ile ifade edildiği ifadelerdir. Genellikle $ax+b=0$ şeklinde yazılan denklem ve $ax+b<c$ veya $ax+b \geq c$ gibi eşitsizliklerle temsil edilirler.

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

$a,b \in \mathbb{R}$ ve $a\neq 0$ olmak üzere ax + b = 0 şeklinde ifade edilebilen denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir. ax + b = 0 denklemini sağlayan x değerlerine denklemin kökü denir. ax + b = 0 denkleminde,
$a\neq 0$ ise çözüm kümesi $\lbrace - \frac{b}{a}\rbrace$
$a = 0$ ve $b = 0$ ise çözüm kümesi $\mathbb{R}$
$a = 0$ ve $b \neq 0$ ise çözüm kümesi $\varnothing$

ax + b = O denklemini sağlayan x değerlerinin kümesine denklemin çözüm kümesi denir.
Bir denklemde eşitliğin her iki tarafına aynı sayı eklenirse veya her iki tarafından aynı sayı çıkarılırsa eşitlik bozulmaz.

Bir denklemde eşitliğin her iki tarafı sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılırsa eşitlik bozulmaz.

Bir denklemde eşitliğin her iki tarafı sıfırdan farklı bir sayıya bölünürse eşitlik bozulmaz.

$a \neq 0$ ve $a \in \mathbb{R}$ olmak üzere, $\frac{a}{0}$ ifadesi tanımsızdır.

$a,b \in \mathbb{R}$ ax + b = 0 denklemin gerçek sayılardaki çözüm kümesi $\mathbb{R}$ ise a=0 ve b=0 olur.

$a,b \in \mathbb{R}$ ax + b = 0 denklemin gerçek sayılardaki çözüm kümesi $\varnothing$ ise a=0 olur.

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

$a,b \in \mathbb{R}$ ve $a\neq 0$ olmak üzere $ax + b < 0$ , $ax + b \leqslant 0$ , $ax + b > 0$ , $ax + b \geqslant 0$ şeklindeki eşitsizliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir.

Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenirse eşitsizliğin yönü değişmez.

Eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayıyla çarpılırsa ya da pozitif bir sayıya bölünürse eşitsizlik yön değiştirmez.

Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpılırsa ya da negatif bir sayıya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.

Mutlak Değer İçeren Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizliklerin Çözüm Kümeleri

Mutlak değer içeren birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler ve eşitsizlikler, matematiksel problemlerin çözümünde karşılaşılan önemli konulardan biridir. Bu tür denklemler ve eşitsizlikler, bilinmeyenin mutlak değeriyle ifade edildiği ifadelerdir ve genellikle $|ax + b| = c$ veya $|ax + b| \geq c$ gibi formüllerle temsil edilir.

Mutlak değer kavramı, bir sayının uzaklık veya farkını temsil etmek için kullanılır. Pozitif ve negatif durumlar üzerinde ayrı ayrı çalışılır ve bu durumlar sonucunda çözüm kümeleri elde edilir.

Bir Gerçek Sayının Mutlak Değeri

Bir gerçek sayının, sayı doğrusu üzerindeki görüntüsünün başlangıç noktasına olan uzaklığına, bu gerçek sayının mutlak değeri denir. Bir x gerçek sayısının mutlak değer $\lvert x\lvert$ ile gösterilir.

$\forall x \in \mathbb{R}$ için $x\geq 0$ ise $\lvert x\lvert = x$ ve $x < 0$ ise $\lvert x\lvert = -x$ .

Mutlak Değerin Özellikleri

$x,y \in \mathbb{R}$ ve $n \in \mathbb{Z}$ olmak üzere,
$|x . y| = |x| . |y|$
$|\frac{x}{y}| = \frac{|x|}{|y|}$ ( $y\neq 0$ )
$|x| = |-x|$
$|x^{n}| = |x|^{n}$
$|x + y| \leqslant |x| + |y|$

Mutlak Değer İçeren Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

$x \in \mathbb{R}^{+}$ , $x \in \mathbb{R}$ için $|x| = a$ ise $x = a \vee x = -a$

$x \in \mathbb{R}$ için $|x|\geq 0$

x ve y gerçek sayıları arasındaki uzaklık k birim ise |x – y| = k olur

Mutlak değerli bir ifadenin alabileceği en küçük değer sıfırdır

Mutlak Değer İçeren Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

$a,b \in \mathbb{R}^{+}$ , $x,y \in \mathbb{R}$ olmak üzere,
$|x|\leqslant a\Leftrightarrow -a\leqslant x \leqslant a$
$|x|\geqslant a\Leftrightarrow x\geqslant a \vee \leqslant -a$
$a\leqslant|x|\leqslant b\Leftrightarrow a\leqslant x\leqslant b \vee -b\leqslant x\leqslant -a$

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizliklerin Çözüm Kümeleri

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler ve eşitsizlikler, matematiksel modellerin ve sistemlerin analizinde önemli bir rol oynar. Bu tür denklemler ve eşitsizlikler, iki bilinmeyenli lineer denklemler olarak da adlandırılır ve genellikle $ax + by = c$ veya $ax + by \geq c$ gibi formüllerle ifade edilir.

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler

a, b, c ve d sıfırdan farklı gerçek sayılar, m ve n gerçek sayılar olmak üzere,
ax + by = m
cx + dy = n şeklinde verilen denklemlere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir

Denklem sistemlerinde çözüm kümesi her iki denklemi de sağlar.

Yerine Koyma Yöntemi

Denklem sistemindeki herhangi bir denklemde değişkenlerden biri eşitliğin bir tarafında yalnız bırakılır ve bu değişkenin değeri diğer denklemde yerine yazılır. Elde edilen 1. dereceden denklem çözülür. Bulunan değer, denklem sistemindeki denklemlerden herhangi birinde yerine yazılır ve diğer bilinmeyen bulunur.

Yok Etme Yöntemi

Verilen denklem sisteminde bilinmeyenlerden birisinin katsayıları eşit ve zıt işaretli olacak şekilde düzenlenir. Daha sonra her iki denklem taraf tarafa toplanarak bilinmeyenlerden birisi yok edilir. Elde edilen 1. dereceden denklem çözülür. Bulunan değer, denklem sistemindeki denklemlerden herhangi birinde yerine yazılır ve diğer bilinmeyen bulunur.

Çakışık iki doğrudan oluşan bir denklem sisteminde çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.

y = ax + b şeklindeki denklemlerin grafiğini çizebilmek için x = 0 için y değeri ve y = 0 için x değeri bulunur.

İki doğrunun kesişim noktası denklem sisteminin çözümünü göstermektedir.

Paralel iki doğrudan oluşan bir denklem sisteminde çözüm kümesi boş kümedir.

ax + by + m = 0 ve cx + dy + n = 0 denklemlerinden oluşan denklem sistemi için,
$\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = \frac{m}{n}$ ise doğrular çakışıktır ve çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.

$\frac{a}{c} = \frac{b}{d} \neq \frac{m}{n}$ ise doğrular paraleldir ve çözüm kümesi $\varnothing$

$\frac{a}{c} \neq \frac{b}{d}$ ise doğrular bir noktada kesişir çözüm kümesi bir elemanlıdır.

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Eşitsizlikler

a, b, c birer gerçek sayı, a ve b sıfırdan farklı olmak üzere, $ax + by \leq c$ , $ax + by < c$ , $ax + by \geqslant c$ , $ax + by > c$ şeklindeki ifadelere birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlikler denir.

Eşitsizlik işaretleri $\leqslant$ ya da $\geqslant$ ise doğru grafiği kesiksiz çizgi ile çizilir

Eşitsizlik işaretleri $<$ ya da $>$ ise doğru grafiği kesikli çizgi ile çizilir

Doğal Sayılar Kümesi	$\mathbb{N}={0,1,2,3, \ldots}$
Tam Sayılar Kümesi	$\mathbb{Z}={\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots}$
Pozitif Tam Sayılar Kümesi	$\mathbb{Z}^{+}={1,2,3,4, \ldots}$
Negatif Tam Sayılar Kümesi	$\mathbb{Z}^{-}={\ldots,-4,-3,-2,-1}$
Rasyonel Sayılar Kümesi	$\mathbb{Q}=\left{\frac{a}{b} \mid a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0,\right. \mathrm{EBOB}(\mathrm{a}, \mathrm{b})=1}$
İrrasyonel Sayılar Kümesi	$\left(\mathbb{Q}^{\prime}\right): \mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{Z}$ ve $\mathrm{b} \neq 0$ olmak üzere $\frac{a}{b}$ biçiminde yazılamayan sayılar irrasyonel sayılardır.
Gerçek Sayılar Kümesi	Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi gerçek sayılar kümesidir.