Denklemler ve Eşitsizlik Sistemleri - 11. Sınıf Özet Konu Anlatımı

11. Sınıf Denklemler ve eşitsizlik sistemleri konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Başlıklar

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin özelliklerinden ve önemli yerlerini özetledim.

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerin Çözüm Kümesi

Ufak bir hatırlatma!

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi
$a, b, c \in \mathbb{R}$ ; a ve b sıfirdan farklı, $x$ ve y değişkenler olmak üzere $a x+b y+c=0$ denklemi birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemdir.

Birinci dereceden iki bilinmeyenli en az iki denklemin oluşturduğu sisteme birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir. Örneğin: $3x + 8y = 7$ ve $5x - 9y = 11$ denklemlerinin oluşturduğu sistem birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemidir.

$a, b, c, d, e, f \in \mathbb{R}$ ve $a, b$ , c reel sayılarından en az ikisi sıfırdan farklı olmak üzere $a x^2+b x y+c y^2+d x+e y+f=0$ şeklindeki ifadelere ikinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklem denir.

İki bilinmeyenli en az iki denklemden oluşan sistemin denklemlerinden en az biri ikinci dereceden denklem ise bu sisteme ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir. Denklemlerin ortak çözüm kümesi (ÇK) denklem sisteminin çözüm kümesidir.

$a, b, c \in \mathbb{R}$ ve $a \neq 0$ için $a x^2+b x+c=0$ ikinci derece denklemi verilsin. Bu durumda $\Delta=b^2-4 a c$ olmak üzere;

$\Delta>0$ ise denklemin iki farklı reel kökü vardır.
$\Delta=0$ ise denklemin çakışık iki reel kökü vardır.
$\Delta<0$ ise denklemin reel kökü yoktur.

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve Eşitsizlik Sistemleri

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler ve sistemlerinin özelliklerinden ve önemli yerlerini özetledim.

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizliklerin Çözüm Kümesi

$x \in \mathbb{Z}^{+}$ olmak üzere bir malın maliyeti $x$ , satiş fiyat $x^2-x+11$ olsun.

Malın satş̧ından kâr elde edilme durumu $x^2-x+11-x>0$ şeklinde ifade edilir.

$a \neq 0$ ve $a, b, c \in \mathbb{R}$ olmak üzere $a x^2+b x+c \geq 0, a x^2+b x+c \leq 0, a x^2+b x+c<0$ , $a x^2+b x+c>0$ ifadelerinin her birine ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik ve eşitsizliği sağlayan $x$ değerlerinin kümesine eşitsizliğin çözüm kümesi denir.

$a x^2+b x+c$ ikinci dereceden üç terimlisinin hangi aralıkta pozitif, hangi aralıkta negatif değer alacağı, $a x^2+b x+c=0$ denkleminde $\Delta>0, \Delta=0, \Delta<0$ olmak üzere üç durumda incelenir.

1. $\Delta=b^2-4 a c>0$ olmak üzere $a x^2+b x+c=0$ denkleminin birbirinden farklı iki kökü vardır.

Bu kökler $x_1<x_2$ olmak üzere $x_1$ ve $x_2$ olsun. $a x^2+b x+c$ ifadesinin işaret tablosu;

Denklemin birbirinden farklı iki kökü olduğunda işaret tablosu gösterimi

İşaret tablosunun en sağındaki aralık a’nın işaretiyle aynıdır. Sağdan sola doğru her aralıkta işaretler değişir.

2. $\Delta=b^2-4 a c=0$ olmak üzere $a x^2+b x+c=0$ denkleminin $x_1=x_2$ olacak şekilde birbirine eşit (çakışık, çift katlı) iki kökü vardır. $a x^2+b x+c$ ifadesinin işaret tablosu;

Denklemin kökleri aynı ise (çakışık kök) olduğunda işaret tablosu gösterimi

$a x^2+b x+c=0$ denkleminin birbirine eşit iki kökü varsa işaret tablosundaki kökün sağ ve sol tarafındaki aralıkların işareti a‘nın işaretiyle aynı olur.

3. $\Delta=b^2-4 a c<0$ olmak üzere $a x^2+b x+c=0$ denkleminin kökü yoktur. $a x^2+b x+c$ ifadesinin işaret tablosu;

Denklemin kökü olmadığında işaret tablosu gösterimi

$a x^2+b x+c=0$ denkleminin kökü yoksa işaret tablosunda $(-\infty, \infty)$ nda $a x^2+b x+c$ ifadesinin işareti a‘nın işaretiyle aynıdır.

$a \neq 0$ ve $a, b, c \in \mathbb{R}$ olmak üzere $f(x)=a x^2+b x+c$ fonksiyonunun işareti incelenirken işaret tablosunda en sağ aralığa a nın işareti yazılır. İşaret, tek katlı köklerde değişirken çift katlı köklerde değişmez.

Denklemin kökleri ve işaretlerinin değişim tablosu

$a \neq 0$ ve $a, b, c \in \mathbb{R}$ olmak üzere $f(x)=a x^2+b x+c$ fonksiyonunda her $x \in \mathbb{R}$ için;
$f(x)>0$ ise $\Delta<0$ ve $a>0$
$f(x)<0$ ise $\Delta<0$ ve $a<0$ olmalıdır.

$ax + b$ veya $ax^2 + bx + c$ Şeklindeki İfadelerin Çarpımı veya Bölümü Şeklinde Verilen Eşitsizlikler

İki ifadenin bölümü veya çarpımı şeklinde verilen eşitsizliklerin çözüm kümesi bulunurken, her bir ifadenin kökleri işaret tablosunda gösterilir. Bölüm şeklindeki eşitsizliklerde paydanın kökü çözüm kümesine dâhil edilmez.

İçerisinde $ax + b$ veya $ax^2 + bx + c$ şeklinde ifadeleri çarpım veya bölüm hâlinde bulunduran eşitsizliklerde işaret incelemesini tek satırda yapmak için;

Eşitsizliği oluşturan çarpanların her birinin kökleri bulunur.
Her bir ifadenin baş katsayısı birbiri ile çarpılır. Çıkan sonucun işareti tablodaki en sağ aralığa yazılır.
Aynı kökten 2’nin katı kadar sayıda bulunduğunda bu kökün sağ ve sol aralığındaki işaret
aynıdır. Tek katlı kökler için bu kökün sağ ve sol aralığındaki işaret farklıdır. Bu işlem en soldaki aralığa kadar devam ettirilerek işaret tablosu oluşturulur.

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemlerinin Çözüm Kümesi

Eşitsizlik sistemi, iki ya da daha fazla eşitsizliğin bir arada bulunduğu sistemdir. Bu sistemin çözüm kümesi, tüm eşitsizliklerin sağlandığı noktalar kümesidir. İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemleri ise, f(x) ve g(x) fonksiyonlarından birinin 2. dereceden, diğerinin ise 1. veya 2. dereceden verildiği sistemlerdir.

$\left.\left.\left.\begin{array}{ll}f(x)>0 \ g(x)<0\end{array}\right} \quad \begin{array}{l}f(x)<0 \ g(x) \leq 0\end{array}\right} \quad \begin{array}{r}f(x) \geq 0 \ g(x) \geq 0\end{array}\right}$ vb. şekilde ifade edilir.

Denklemler ve Eşitsizlik Sistemleri – 11. Sınıf Özet Konu Anlatımı

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerin Çözüm Kümesi

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve Eşitsizlik Sistemleri

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizliklerin Çözüm Kümesi

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemlerinin Çözüm Kümesi

Bir Yorum YazınYanıtı İptal Et