ÇOKGENLER 10. Sınıf Özet Konu Anlatımı

10. Sınıf Çokgenler konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Konuyu anladığınızı kontrol etmek için yazının altında yer alan listeye bakmanızı öneririm. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Çokgen ve Çokgende Açı Kavramı

Bir çokgen, düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan noktadan oluşan bir şekildir. Bu noktaları birleştiren doğru parçalarına çokgenin kenarları denir. Köşeler ise bu doğru parçalarının uç noktalarıdır. Köşelerin oluşturduğu çokgenin kenar sayısı, köşe sayısına eşittir. Yani, n\geq3 ve n\in\mathbb{N} olmak üzere düzlemdeki herhangi üçü doğrusal olmayan noktalardan A_1, A_2, A_3, … , A_n geçen [A_1 A_2], [A_2 A_3], … , [A_n-1 A_n], [A_1n A_1] nın birleşimi çokgeni oluşturur. Bu doğru parçaları çokgenin kenarlarını temsil ederken A_1, A_2, A_3, … , A_n noktalarına çokgenin köşelerini temsil eder Bir çokgenin köşe sayısı ile kenar sayısı eşittir. Çokgenler, köşe sayılarına veya kenar sayılarına bağlı olarak isimlendirilir (örneğin, üçgen, dörtgen, beşgen, altıgen vb.).

n\geq3 ve n\in\mathbb{N} olmak üzere n kenarlı bir çokgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360^{\circ} dir.

Düzgün Çokgenler

Bir çokgenin, bütün kenar uzunluklarının eşit olduğu ve iç veya dış açılarının ölçülerinin eşit olduğu durumlarda düzgün çokgen adı verilir. n\geq3 ve n\in\mathbb{N} olmak üzere, n kenarlı bir düzgün çokgenin dış açılarının ölçüleri eşittir ve her bir dış açının ölçüsü \frac{\ 360^{\circ}}{n}‘dir. Aynı şekilde, n kenarlı bir düzgün çokgenin iç açılarının ölçüleri de eşittir. Bir iç açının ölçüsü

180^{\circ} - \frac{360^{\circ}{}}{n} = \frac{180^{\circ}. n - 360^{\circ}{}}{n} = (n-2) . \frac{180^{\circ}{}}{n}

Düzgün çokgenlerin adlandırılmasında, eşkenar üçgen ve kare dışındaki şekillere “düzgün” kelimesi önlerine eklenerek isimlendirilir.

Çokgenler

Dörtgenler ve Özellikler

Dörtgenler, geometride dört kenarı ve dört iç açısı olan şekillerdir. Paralelkenar, dikdörtgen, kare ve deltoid gibi farklı türleri vardır. Dörtgenlerin özellikleri, alan, çevre, iç açılar gibi konularda önemli bir rol oynar.

Sembol ve Gösterimler

  • Ç(ABCD),
    ABCD dörtgeninin çevresi demek ve bu şekilde gösterilmektedir.
  • A(ABCD),
    ABCD dörtgeninin alanı demek ve bu şekilde gösterilmektedir.

Dörtgenin Temel Elemanları ve Özellikleri

Dörtgen, dört noktanın ardışık olarak birleştirilmesiyle oluşan kapalı düzlemsel bir şekildir. Bu dört nokta, herhangi üçü aynı doğru üzerinde bulunmamaktadır.
Dörtgenin köşeleri, açıları ve kenarları dörtgenin temel bileşenleridir. ABCD dörtgeninde, A, B, C ve D noktaları dörtgenin köşelerini temsil ederken, [AB], [BC], [CD] ve [DA] dörtgenin kenarlarını ifade eder. \overparen{BAD}, |\overparen{ABC}|, |\overparen{BCD}|, |\overparen{CDA}| ise dörtgenin açılarıdır.

Dörtgenin Temel Özellikleri

Dörtgen, her bir iç açısının ölçüsünün 180^{\circ} den küçük olduğu bir şekle dışbükey dörtgen denir. Dörtgen, her bir iç açısının ölçüsünün 180^{\circ} den büyük olduğu bir şekle içbükey dörtgen denir. Dışbükey dörtgenleri kastederek “dörtgen” terimini kullanıyoruz. 

Dışbükey ve İçbükey

Köşegenleri dik kesişen bir ABCD dörtgeninde karşılıklı kenar uzunluklarının kareleri toplamları birbirine eşittir.

ABCD dörtgeninde [AC] \perp [BD] olduğundan |A B|^2+|D C|^2 =|A D|^2+|B C|^2 olur.

Dörtgen

ABCD dörtgeninde [AC] ve [BD] dörtgenin köşegenleridir. E, F, G ve H bulundukları kenarların orta noktaları ise Ç(EFGH) = |AC| + |BD| olarak hesaplanır.

Dörtgen Özelliği

Özel Dörtgenler

Yamuk, ikizkenar yamuk, dik yamuk, paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen, kare ve deltoid gibi geometrik şekiller, dörtgenlerin farklı tiplerini temsil eder. Bu şekillerin farklı kenar ve açı özellikleri vardır ve geometri alanında sıkça kullanılırlar. Burada; yamuk, ikizkenar yamuk, dik yamuk, paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen, kare ve deltoid özelliklerinden kısaca bahsettim.

Özel Dörtgenlerin Açı, Kenar, Köşegen ve Alan Özellikleri

Paralelkenar, yamuk bir dörtgen olarak da bilinir.
Dikdörtgen, aynı zamanda yamuk bir dörtgendir.
Eşkenar dörtgen, hem paralelkenar hem de deltoid olarak sınıflandırılır.
Kare, aynı zamanda eşkenar dörtgen ve deltoid şeklindedir.

Yamuk ve Özellikler

En az iki kenarı paralel olan dörtgene yamuk denir.
ABCD yamuğunda;
[AB] \parallel [CD] olur.
[AB] alt taban, [DC] üst taban olarak adlandırılır.
Yamuğun iç açılarına ilişkin ilişkiler de şu şekildedir;
x + y = 180^{\circ} ve \alpha + \beta = 180^{\circ}

Yamuk

ABCD yamuğunda [AB] \parallel [DC] olsun. [AD] ve [BC] kenarlarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban denir. 
[EF] orta taban olmak üzere, [EF] \parallel [AB] \parallel [DC] ve |EF| = \frac{\mathrm{|AB|} + \mathrm{|DC|}}{2} = \frac{\mathrm{a} + \mathrm{c}}{2} olur.

Yamuğun orta tabanı

ABCD yamuğunda [DC] \parallel [AB] olmak üzere [DB] ile [AC] yamuğun köşegenleri denir. Köşegenlerin orta taban üzerinde oluşturduğu doğru parçaları için ise |EK| = |LF| = \frac{\mathrm{c} }{2} ve |KL| = \frac{\mathrm{a} - \mathrm{c}}{2} şeklinde hesaplanır.

Yamuğun köşegenleri orta tabanı üzerinde oluşturduğu doğru parçası

ABCD yamuğunda, [DC] \parallel [AB],  [DB] \cap [CA] = \mathrm{{T}} olduğunda köşegenlerin kesim noktasından geçen ve alt taban ile üst tabana paralel olan [KL] doğru parçası için şu eşitlikler geçerlidir:
|KT| = |TL| = \frac{\mathrm{a} \cdot \mathrm{c}}{\mathrm{a} + \mathrm{c}} 

Yamuğun köşegenleri orta tabanı iki eşit parçaya böler

ABCD yamuğunda [DC] \parallel [AB]’dir. [KL] \perp [AB] ve |KL| = h olmak üzere  olduğunda;
A (ABCD) = \frac{a + c}{2} .h eşitliği geçerlidir.

Yamuğun alanı, üst taban ile alt tabanın toplamının yükseklikle çarpımının yarısı

ABCD yamuğunda [DC] \parallel [AB] ve E noktası [DA] nın orta noktasıdır.  Bu durumda, ABCD yamuğunun alanı;

E noktası [DA] kenarının orta noktası olup, ECB üçgeninin tepe noktasıdır. ECB üçgeninin alanı, ABDC yamuğunun alanının yarısına eşit

ABCD yamuğunda [AC] ve [BD] köşegenler ve [DC] \parallel [AB] dir.

Yamuk alan özelliği
İkizkenar Yamuk

ABCD yamuğunda [DC] \parallel [AB] ve |AD| = |BC| koşulu sağlandığında, bu yamuğa ikizkenar yamuk denir. Yamukta m(\widehat{\mathrm{A}}) = m(\widehat{\mathrm{B}}) = \alpha ve m(\widehat{\mathrm{D}}) = m(\widehat{\mathrm{C}}) = \beta olur.

İkizkenar Yamuk

ABCD ikizkenar yamuğunda [AC] ve [BD] köşegenler ve [DC] \parallel [AB] dir. |AD| = |BC| koşulu sağlandığında,
|AC| = |DB| olur (köşegen uzunlukları eşittir.). 
|ED| = |EC| olur.
|EB| = |EA| olur.

İkizkenar yamukta, köşegen uzunlukları eşit olduğunda, |ED| = |EC| ve |EB| = |EA| olu

ABCD ikizkenar yamuğunda [AB] \parallel [DC], |AD| = |BC|, [AC] ve [BD] köşegenleri dik kesişir. Yamuğun yüksekliği h ise,
\mathrm{h}=\frac{\mathrm{a} + \mathrm{c}}{2} 
A(ABCD) = h^2

İkizkenar yamuğun alanı
Dik Yamuk

Yamuğun bir köşesindeki açının ölçüsü 90^{\circ} olan yamuğa dik yamuk denir.
ABCD yamuğunda [AD] aynı zamanda bu yamuğun yüksekliğidir.

Dik Yamuk

ABCD dik yamuğunda [DC] \parallel [AB], [DA] \perp [AB], [AD] =h olduğunda ve köşegenler birbirine dik ise h^2 = a . c 

Köşegenler dik kesişiyorsa, h^2 = a . c 
Paralelkenar

Paralelkenar, karşılıklı kenarları birbirine paralel olan bir dörtgendir.
ABCD paralelkenarında,
[AB] \parallel [DC] ve |AB| = |DC| = a ve
[AD] \parallel [BC] ve |AD| = |BC| = b olarak ifade edilir.

Paralelkenar

ABCD paralelkenarında ardışık köşelerdeki iç açılar birbiriyle bütünler açılardır. Paralelkenarın iç açıların toplamı 180^{\circ} dir.
ABCD paralelkenarında m(\widehat{A})=m(\widehat{C}) ve m(\widehat{B})=m(\widehat{D}) olur.

ABCD paralelkenarında ardışık köşelerdeki iç açılar birbiriyle bütünler açılardır

Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar. ABCD paralelkenarında |DE| = |EB| ve |AE| = |EC| olur.

Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar

Bir paralelkenarın alanı, herhangi bir kenar uzunluğu ile o kenara ait yüksekliğin çarpımına eşittir. Dolayısıyla, ABCD paralelkenarının alanı A(ABCD) = a \cdot h_{a} = b \cdot h_{b} şeklinde hesaplanır.

Paralelkenar alanı

ABCD paralelkenarında E \in [DC] ise,
ABE üçgeninin alanı, ADE ve BCE üçgenlerinin alanlarının toplamına eşittir. Ayrıca, ABCD paralelkenarının alanı, ABE üçgeninin alanının iki katıdır.

ABE üçgeninin alanı, ADE ve BCE üçgenlerinin alanlarının toplamına eşittir. Ayrıca, ABCD paralelkenarının alanı, ABE üçgeninin alanının iki katı

K noktası ABCD paralelkenarının iç bölgesinde bir nokta olmak üzere; ADK ve BCK üçgenlerinin alanları toplamı, AKB ve DKC üçgenlerinin alanları toplamına eşittir. Ayrıca, ABCD paralelkenarının alanının yarısı, ADK ve BCK üçgenlerinin alanlarının toplamına eşittir. Aynı şekilde, ABCD paralelkenarının alanının yarısı, AKB ve DKC üçgenlerinin alanlarının toplamına eşittir.

Paralelkenar alan özellikleri

ABCD paralelkenar ve m(\widehat{DAB})= \alpha ise paralelkenarın alanı A(ABCD)= |AB| . |AD| . \sin \alpha şeklinde hesaplanır.

Paralelkenarın bir açısı biliniyorsa paralelkenarın alanı, A(ABCD)= |AB| . |AD| . \sin \alpha

ABCD paralelkenarında [AC] köşegen ve [NL] \cap [MK] \cap [AC] = \varnothing ‘dir.[NL] \parallel [DC] ve [MK] \parallel [DA]  olduğunda A (DNOM) = A (KBLO) olur.

Paralelkenar alan özellikleri
Eşkenar Dörtgen

Eşkenar dörtgen, kenar uzunlukları eşit olan bir paralelkenardır. Bu nedenle paralelkenarın tüm özelliklerini taşır. ABCD eşkenar dörtgeninde
|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = a olur.

Eşkenar dörtgen

ABCD eşkenar dörtgen olmak üzere,
∙ [AC] ve [BD] köşegenleri birbirini dik keser.
∙ [AC] ve [BD] köşegenleri birbirini ortalar.
∙ [AC] ve [BD] köşegenleri aynı zamanda açıortaydır.

Eşkenar dörtgen özellikleri

ABCD eşkenar dörtgen [AC] ve [BD] köşegen olmak üzere \mathrm{A}({ABCD})=\frac{\mathrm{|AC|} \cdot \mathrm{|BD|}}{2} olur.

Eşkenar dörtgen alanı
Dikdörtgen

Açılarından biri 90^{\circ} olan paralelkenara dikdörtgen denir. Dikdörtgen aynı zamanda bir paralelkenar olduğundan paralelkenarın özelliklerini de taşır. Bu durumda,
|AB| = |DC| ve |AD| = |BC|
Ç(ABCD) = 2 . (a+b) olur.

Dikdörtgen

Dikdörtgene ait köşegen uzunlukları eşittir. ABCD dikdörtgeninde,
∙ |AC| = |BD|
∙ |AO| = |BO| = |CO| = |DO| olur.

Dikdörtgene ait köşegen uzunlukları eşit

ABCD dikdörtgeninin alanı A (ABCD) = |AB| . |BC| olarak hesaplanır.

ABCD dikdörtgeninin alanı A (ABCD) = |AB| . |BC|
Kare

Dört kenar uzunluğu eşit olan ve tüm iç açıları 90^\circ olan dikdörtgene kare denir.
Kare aynı zamanda paralelkenar, dikdörtgen ve eşkenar dörtgen özelliklerini taşır. ABCD karesinde,

  • |AB| = |BC| = |CD| = |DA| =a cm, 
  • m(\widehat{A}) = m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) = m(\widehat{D}) = 90^{\circ}
Kare

ABCD karesinde,
• Köşegenler aynı zamanda açıortaylardır: Köşegenler birbirini iki eşit parçaya böler.
• Köşegen uzunlukları eşit olup birbirlerini dik ortalar: Köşegenlerin uzunlukları eşit ve birbirlerine dik olarak orta noktada kesişir.

Karenin özellikleri

Bir kenarı a birim olan ABCD karesinin alanı A(ABCD) = a^2 birim karedir.

ABCD karesinin alanı A(ABCD) = a^2
Deltoid

Bir ABCD dörtgeninde |DC| = |BC| ve |DA| = |BA| ise bu dörtgene deltoid denir.
ABCD dörtgeni deltoid olmak üzere,

  • Deltoidde köşegenler birbirini dik keser: [AC] \perp [DB]
  • Deltoidde köşegenin orta noktası köşegeni iki eşit parçaya böler: |DK| = |KB| olur.
  • Deltoidde köşegen aynı zamanda açıortaydır: [AC] köşegeni aynı zamanda açıortaydır. 
  • m(\widehat{CDA})= m(\widehat{CBA}) yani köşegenle karşılıklı açılar birbirine eşittir.
Deltoid

ABCD deltoidinin köşegenleri [AC] ve [BD]’dir.
\mathrm{A}({\mathrm{ABCD}})=\frac{\mathrm{|AB|} \cdot \mathrm{|BC|}}{2} olur.

Deltoidin alanı

Bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları birleştirilerek elde edilen dörtgen paralelkenar olur. ABCD dörtgeni için,
• KLPR dörtgeni paralelkenardır.
• |AC| = |BD| ise KLPR dörtgeni eşkenar dörtgendir.
• [AC] \perp [BD] ise KLPR dörtgeni dikdörtgendir.
• [AC] \perp [BD] ve |AC| = |BD| ise KLPR dörtgeni karedir.

Bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları birleştirilerek elde edilen dörtgen paralelkenar olur

Çokgen ve Dörtgen ait Terim ve Kavramlar

  • Çokgen
  • Düzgün Çokgen
  • Köşegen
  • Dışbükey dörtgen
  • İçbükey dörtgen
  • Köşegen
  • Çevre 
  • Alan
  • Yamuk
  • İkizkenar Yamuk
  • Dik Yamuk
  • Paralelkenar
  • Eşkenar Dörtgen
  • Dikdörtgen
  • Kare
  • Deltoid

Bir Yorum Yazın

Yukarıdaki yazıyı nasıl buldunuz? Lütfen yorum yapın ve bizi değerlendirin.