Çemberde Açı 11. Sınıf Konu Anlatımı Özeti

11. Sınıf Çember ve Daire ünitesinde yer alan Çemberin temel elemanları konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Başlıklar

Merkez Açı

Bir çemberde, çemberin merkezinde bulunan açıya merkez açısı denir. Merkez açısının üç özelliğinden bahsedeceğiz.

1.Bir çemberde bir merkez açının ölçüsü bu açının gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.

AOB açısının ölçüsü $\alpha$ olan bir merkez açısıdır. AB yayı, AOB açısının gördüğü yaydır.

Çemberde merkez açının ölçüsü bu merkez açının gördüğü yayın ölçüsüne eşit

Merkezleri O olan üç çemberin merkez açılarının ölçüsü $\alpha$ olsun. Bu durumda $\alpha$ , açısının gördüğü yayların ölçülerine eşittir. Buna göre dıştaki çember için $\alpha=m(\overparen{A B})$ ortadaki çember için $\alpha=m(\overparen{C D})$ içteki çember için $\alpha=m(\overparen{E F})$ olur.

Farklı çaplardaki merkez açının gördüğü yay

2. Çemberde, eş uzunluktaki kirişlerin belirlediği yaylar birbirine eşittir.
Çemberde $|A B|=|C D|$ olsun. Çizilen yarıçaplarla oluşturulan $\widehat{A O B}$ ve $\widehat{C O D}$ eş üçgenlerdir (Kenar-Kenar-Kenar kriterine göre). Bu nedenle, iki üçgenin tepe açıları eşittir. Bir çemberde merkez açısının ölçüsü, bu açının gördüğü yayın ölçüsüne eşit olduğundan, $m(\widehat{A B})=m(\widehat{C D})$ olur.
Sonuç olarak, çemberde eş uzunluktaki kirişlerin belirlediği yaylar birbirine eşittir.

Çemberde eş kirişlerin belirlediği yaylar eşit olur

3. Bir çemberde, çemberin merkezinden çizilen kirişe indirilen dikme, bu kirişin gördüğü yayı ortalar. O merkezli çemberde $\widehat{A O B}$ ikizkenar üçgen olduğundan, merkezden $A B$ kirişine indirilen dikme aynı zamanda üçgenin açıortayıdır.
$A O C$ ve COB merkez açılarının ölçüleri eşit olduğundan $m(\overparen{A C})=m(\overparen{C B})$ olur. Sonuç olarak, bir çemberde, merkezden çizilen bir kirişe indirilen dikme, o kirişin gördüğü yayı ortalar

Çemberin merkezinden kirişe indirilen dikme bu kirişin gördüğü yayı ortalar

Çevre Açı

Çember üzerinde bir köşesi bulunan ve çemberi kesen iki doğru arasında kalan açıya çemberin çevre açısı denir. Şimdi çevre açısının dört özelliğinden bahsedeceğiz.
BAC açısının ölçüsü $\alpha$ çevre açısı ve $\overparen{B C}, B A C$ $\alpha$ açısının gördüğü yaydır.

Çemberin çevre açısı

1. Bir çemberde, çevre açının ölçüsü, bu açının gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
O merkezli çemberde [AD] çap olmak üzere, $m(\overparen{B D})=a$ ve $m(\overparen{D C})=b$ olsun. Bu durumda $m(\widehat{B O D})=a$ ve $(\widehat{D O C})=b$ olur.
$O A B$ ve $O A C$ ikizkenar üçgen olduğundan
$m(\widehat{O A B})=m(\widehat{O B A})=\frac{a}{2}$ ve $m(\widehat{O A C})=m(\widehat{O C A})=\frac{b}{2}$ olur.
A çevre açısının ölçüsü $m(\widehat{A})=\frac{a+b}{2}=\frac{m(\overparen{B C})}{2}$ olarak bulunur.

Çevre açının ölçüsü, bu açının gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşit

2. Bir çemberde çevre açının ölçüsü aynı yayı gören merkez açının öļ̧çüsünün yarısına eşittir. $m(\widehat{\mathrm{BAC}})=\frac{m(\widehat{\mathrm{BOC}})}{2}=\frac{a+b}{2}$ olur.
Aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri eşittir. Yani, $m(\overparen{DAB}) =$ m(\overparen{DCB})

Çevre açının ölçüsü aynı yayı gören merkez açının ölçüsünün yarısına eşit

3.Bir çemberde, çapı gören çevre açının ölçüsü her zaman $90^\circ$ ‘dir.
Öyleyse, O merkezli çemberde çapı gören çevre açısı olan A açısını ele alalım. A açısı, BDC çember yayını görür. Çünkü O, çemberin merkezi olduğu için $m(\widehat{B D C})=180^{\circ}$ olur. Buradan $m(\widehat{A})=\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}$ olur.

Çemberde çapı gören çevre açının ölçüsü $90^\circ$ olur

4.Bir çemberde paralel iki kirişin arasında kalan yayların ölçüleri birbirine eşittir.
$[A B] / /[C D]$ olduğunda $C B A$ ve $D C B$ açıları iç ters açılar olup $m(\widehat{A B C})=m(\widehat{B C D})$ olur.
Çemberde, aynı çevre açısını gören yayların ölçüleri eşittir. Bu nedenle $m(\overparen{A C})=m(\overparen{B D})$ olur.

Çemberde paralel iki kirişin arasında kalan yayların ölçüleri birbirine eşit olur

Teğet – Kiriş Açı

Köşesi çember üzerinde bulunan ve bir kenarı çemberin kirişi, diğer kenarı ise çemberin teğeti olan açıya, çemberin bir teğet-kiriş açısı denir.
CAB açısı çemberin bir teğet-kiriş açısıdır. $C A B$ açısının gördüğü yay $A B$ yayıdır.
Çemberde $O A$ ve $O B$ doğru parçaları çizildiğinde $O A B$ ikizkenar üçgeni oluşur. $[O A] \perp[A C]$ olur. Merkez açının ölçüsü $\alpha$ olsun. Bu durumda $m(\widehat{A B})=\alpha$ olur.
$m(\widehat{\mathrm{BAO}})=m(\widehat{\mathrm{OBA}})=\theta$ olsun. Bu durumda
OAB üçgeninde $2 \theta+\alpha=180^{\circ}$ eşitliğini elde ederiz. Her iki tarafı da 2’ye böldüğümüzde, $\theta+\frac{\alpha}{2}=90^{\circ}$ olur. Buna göre CAB teğet-kiriş açısının ölļüsü $m(\widehat{C A B})=\frac{\alpha}{2}$ olur.

Çemberde teğet-kiriş açısı

Teğet-kiriş açının ölçüsü, bu açının gördüğü yay ölçüsünün yarısına eşittir. Aynı çemberde, aynı yayı gören teğet-kiriş açısı ile çevre açının ölçüleri eşittir.
$m(\widehat{A B D})= m(\widehat{A C B})$ olur.

Teğet-kiriş açının ölçüsü, açının gördüğü yay ölçüsünün yarısına eşit

İç Açı

Çemberin içinde herhangi bir noktada kesişen iki kirişin oluşturduğu açılara çemberin iç açıları denir.
DKC açısı olan $\alpha$ çemberin iç açısıdır ve gördüğü yaylar CD ve AB yaylarıdır.
$m(\widehat{\mathrm{DBC}})=a$ ve $m(\widehat{\mathrm{ADB}})=b$ olsun. Bu durumda, $m(\overparen{D C})=2 a$ ve $m(\overparen{A B})=2 b$ olur. Dolayısıyla $\alpha=a+b=\frac{m(\overparen{A B})+m(\overparen{C D})}{2}$ şeklinde ifade edilir.
Bu nedenle, bir çemberde iç açının ölçüsü, bu açının gördüğü yayların ölçüleri toplamının yarısına eşittir.

Çemberin iç açısı

Dış Açı

Bir çembere dışından çizilen iki kesenin, iki teğetin veya bir teğet ile bir kesenin oluşturduğu açılara çemberin dış açıları denir. DEC açısı, çemberin bir dış açısıdır ve gördüğü yaylar AB ve CD yaylarıdır. A ve D noktaları birleştirilirse AB yayını gören çevre açı elde edilir.
$m(\widehat{C E D})=\alpha, m(\overparen{A B})=a$ ve $m(\widehat{C D})=b$ olsun. $m(\overparen{A B})=a$ olduğundan $m(\widehat{\mathrm{BDA}})=\frac{a}{2}$ olur.
$A E D$ üçgeninde $m(\widehat{C A D})=\alpha+\frac{a}{2}$ olur. $\widehat{C A D}$ çevre açı olduğundan gördüğü yayın yarısına eşittir.
Bu durumda $\alpha+\frac{a}{2}=\frac{b}{2} \Rightarrow \alpha=\frac{b-a}{2}$ olur.
Bir dış açının ölçüsü, gördüğü yaylardan büyük olan açı ile küçük olan açının ölçüsünün farkının yarısına eşittir.

Çemberin dış açısı

$[BA$ ve $[BC$ çembere sırasıyla $A$ ve $C$ noktalarında teğet olsun. $m(\widehat{A B C})=\frac{m(\widehat{A D C})-m(\overparen{A C})}{2}$
Bu eşitliği $m(\widehat{A D C})=360^{\circ}-m(\overparen{A C})$ olarak yazarsak, şu şekilde elde ederiz:
$m(\widehat{\mathrm{ABC}})=\frac{360^{\circ}-m(\widehat{\mathrm{AC}})-m(\widehat{\mathrm{AC}})}{2}$ olur.
Buradan, $m(\widehat{\mathrm{ABC}})=180^{\circ}-m(\widehat{\mathrm{AC}})$ olduğunu görebiliriz. Yani, $m(\widehat{\mathrm{ABC}})+m(\widehat{\mathrm{AC}})=180^{\circ}$ olur.

Çembere teğet iki doğrunun oluşturduğu dış açı

Aynı çembere göre, OB doğru parçası, B açısını ve AC yayını iki eş parçaya böler. Aşağıdaki eşitlik sağlanır:
$m(\widehat{A B C})+m(\widehat{A E C})=180^{\circ}$ eşitliğinin her iki tarafi 2 ile bölündüğünde

$m(\widehat{\mathrm{ABO}})+m(\widehat{\mathrm{AE}})=90^{\circ} \text { olur. }$

Çemberde dış açı

Çevrel Çember ve Sinüs Teoremi

Bir üçgenin köşelerinden geçen çembere, o üçgenin çevrel çemberi denir. ABC üçgeninin kenar orta dikmelerinin kesim noktası O olsun. Bu durumda AO = BO = CO olduğundan, O çevrel çemberin merkezidir. Kenar orta dikmeleri, çevrel çemberin merkezinden geçer.

Çevrel çember

O merkezli ve R yarıçaplı çember, ABC üçgeninin çevrel çemberidir. Çevrel çemberin yarıçapını R olarak gösterelim. Üçgenin kenarları, iç açıları ve çevrel çemberin yarıçapı (R) arasındaki ilişki (sinüs teoremi);

Sinüs teoremi

$m(\widehat{A})=\alpha, m(\widehat{B})=\beta, m(\widehat{C})=\theta ;|B C|=a,|A C|=b,|A B|=c$ olsun.

Çember üzerinde P noktasını alalım ve [BP] kenarını merkezden geçen PCB üçgenini çizelim. [BP] çap olduğundan, $m(\widehat{P C B})=90^{\circ}$ olur.
A ile P açıları aynı yayı gördüğünden $m(\widehat{A})=m(\widehat{P})=\alpha$ olur.
PCB dik üçgeninde, sinüs teoremi kullanarak,
$\sin \alpha=\frac{a}{2 R} \Rightarrow 2 R=\frac{a}{\sin \alpha}$ bulunur.
Benzer şekilde,
$2 R=\frac{b}{\sin \beta}$ ve $2 R=\frac{c}{\sin \theta}$ eşitlikleri yazılabilir. Bu eşitliklerden,
$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \theta}=2 R$ veya $\frac{a}{\sin \widehat{A}}=\frac{b}{\sin \widehat{B}}=\frac{c}{\sin \widehat{C}}=2 R$ elde edilir.

Çevrel çember ve Sinüs teoremi