ÇEMBER VE DAİRE 11. Sınıf Özet Konu Anlatımı

11. Sınıf Çember ve daire konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Konuyu anladığınızı kontrol etmek için yazının altında yer alan listeye bakmanızı öneririm. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Başlıklar

Çemberin temel elemanları

Çember, düzlemde belirli bir sabit noktadan (merkez) eşit uzaklıkta bulunan tüm noktaların kümesidir. Çemberin sabit noktasına, çemberin merkezi denir. Çemberin üzerindeki herhangi bir noktayla merkez arasındaki mesafe çemberin yarıçapıdır. Çemberin merkez ve yarıçapı, çemberin temel özellikleridir.

Bir çemberin merkezi O ise, O merkezli çemberin üzerindeki herhangi bir A noktası için OA uzunluğu çemberin yarıçapıdır. Çember çizmek için sadece merkez ve yarıçapın bilinmesi yeterlidir. O merkezli ve yarıçapı r olan çember “Ç(O, r)” şeklinde gösterilir.

Çemberin yarıçapı

Kiriş, çemberin farklı iki noktasını birleştiren doğru parçasına denir. Eğer kiriş çemberin merkezinden geçiyorsa bu kiriş çemberin bir çapıdır. [CD] ve [EF] çemberin birer kirişidir. [AB] çemberin merkezinden geçtiği için çemberin bir çapıdır. Aynı zamanda [AB] kirişi çemberin en uzun kirişidir ve çemberi iki eş parçaya ayırır.

Çemberin kirişi

Çember yayı, çemberde iki farklı nokta arasındaki yere denir. Bir yay, iki uç noktası ve bu noktalar arasındaki üçüncü bir nokta ile belirlenir. Yay $\widehat{A X B}$ ve $\widehat{A Y B}$ biçiminde gösterilir. Ancak, daha küçük olan yay $\overparen{A X B}$ için $\overparen{A B}$ gösterimi kullanılabilir.

Çemberin yayı

Çemberin keseni, çemberi iki farklı noktada kesen doğruya denir. $d_1$ ve $d_2$ doğruları çemberi iki farklı noktalardan kestiği için bu doğrular çemberin kesenleridir.

Çemberin keseni

Çemberin teğeti, çember ile yalnız bir ortak noktası bulunan doğruya denir. Çember ile d doğrusunun ortak noktası (A), teğetin değme noktasıdır. Çemberin merkezinden teğetin değme noktasına çizilen doğru, teğete diktir.

Çemberin teğeti

Bir Çember ile Bir Doğrunun Birbirlerine Göre Durumları

O merkezli çemberin yarıçap uzunluğu r ve merkezinin d doğrusuna olan uzaklığı |OH| = h olduğunda üç farklı durum var, bunlar;

1. h < r ise doğru çemberi iki noktada keser.

Doğru çemberi iki noktada kestiği durum

2. h = r ise doğru çembere teğettir.

Doğru çemberi bir noktada kestiği durum

3. h > r ise doğru çemberi kesmez.

Doğrunun çemberi kesmediği durum

Çemberde Kirişin Özellikleri

1. Bir çemberin merkezinden kirişe indirilen dikme, kirişi iki eşit parçaya ayırır.
AOB ikizkenar üçgeninde |AO| = |OB| dir. İkizkenar üçgenin tepe noktasından indirilen dikme aynı zamanda kenarortay olduğundan |AH| = |HB| olur.

Bir çemberin merkezinden kirişe indirilen dikme, kirişi ortalar

2. Bir çemberin içindeki herhangi bir noktadan geçenen kısa kiriş, o noktadan ve merkezden geçen doğruya dik olan kiriştir. O merkezli çemberde A noktasından geçen en kısa kiriş [BC] olur. A noktasından geçen en uzun kiriş [DE] çapıdır.

Çemberin bir noktasından geçen kısa kirişi, merkezden geçen kirişe dik olur

3. Eş kirişlerin çemberin merkezine olan uzaklıkları eşittir. O merkezli çemberde |AB| = |CD| olsun. Çemberin merkezinden kirişlere indirilen dikme ayakları E ile F olmak üzere, |AF| = |FB|= |CE| = |ED| olur.
AFO ile DEO üçgenlerinin birer dik kenarları ve hipotenüsleri eşit olduğundan bu üçgenler birbirine eştir, yani |OF| = |OE| olur. Bir çemberde merkeze eşit uzaklıkta bulunan kirişlerin uzunlukları birbirine eşittir.

Çemberin eş kirişlerin merkeze uzaklıkları eşit olur

4.Bir çemberde iki kiriş merkezden eşit uzaklıkta değilse uzun olan kiriş merkeze daha yakındır. $|O F|=a$ ve $|O E|=b$ olsun.

$\begin{aligned}& |A B|>|C D| \Rightarrow|A F|>|E D| \\& |A F|^2+a^2=r^2 \text { ve }|E D|^2+b^2=r^2 \\& |A F|^2=r^2-a^2 \text { ve }|E D|^2=r^2-b^2\end{aligned}$

(1) ve (2) den

$\begin{aligned}& r^2-a^2>r^2-b^2 \\& -a^2>-b^2 \\& a^2<b^2 \text { olur. Buradan } a<b \text { olur. }\end{aligned}$

Çemberde uzun olan kiriş merkeze daha yakın olur

Çemberde Açı

Çemberde açı çeşitleri ve özellikleriyle ilgili önemli yerleri özetledim.

Bir Çemberde Merkez Açı, Çevre Açı, İç Açı, Dış Açı ve Teğet-Kiriş Açı

Merkez açı, çevre açı, dış açı, iç açı ve teğet kiriş açı olmak üzere beş farklı açıdan ve bu açıların özelliklerinden bahsettim.

Merkez Açı

Merkez açı, köşesi çemberin merkezinde olan açıya denir. Merkez açının üç özelliğinden bahsedeceğiz;

1. Merkez açının ölçüsü bu merkez açının gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. Ölçüsü α olan AOB açısı bir merkez açıdır. AB yayı, AOB açısının gördüğü yaydır.

Çemberde merkez açının ölçüsü bu merkez açının gördüğü yayın ölçüsüne eşit olur

Merkezleri O olan üç çemberin merkez açılarının ölçüsü $\alpha$ olsun. $\alpha$ , görmüş olduğu yay ölçülerine eşittir. Buna göre dıştaki çember için $\alpha=m(\overparen{A B})$ ortadaki çember için $\alpha=m(\overparen{C D})$ içteki çember için $\alpha=m(\overparen{E F})$ olur.

Farklı çaplardaki merkez açının gördüğü yay

2. Çemberde eş kirişlerin belirlediği yaylar eştir. Çemberde $|A B|=|C D|$ olsun ve yarıçaplarla oluşturulan $\widehat{A O B}$ ve $\widehat{C O D}$ eş üçgenlerdir. Böylece iki üçgenin tepe açıları eşittir.
Bir çemberde merkez açının ölçüsü, bu merkez açının gördüğü yayın ölçüsüne eşit olduğundan $m(\widehat{A B})=m(\widehat{C D})$ olur. Yani, çemberde eş kirişlerin belirlediği yaylar eşittir.

Çemberde eş kirişlerin belirlediği yaylar eşit olur

3. Bir çemberin merkezinden kirişe indirilen dikme bu kirişin gördüğü yayı ortalar. O merkezli çemberde $\widehat{A O B}$ ikizkenar üçgen olduğundan merkezden $A B$ kirişine indirilen dikme aynı zamanda üçgenin açıortayıdır. $A O C$ ve COB merkez açılarının ölçüleri eşit olduğundan $m(\overparen{A C})=m(\overparen{C B})$ olur. Yani bir çemberin merkezinden kirişe indirilen dikme bu kirişin gördüğü yayı ortalar.

Çemberin merkezinden kirişe indirilen dikme bu kirişin gördüğü yayı ortalar

Çevre Açı

Çevre açı, çember üzerinde bir köşesi olan ve çemberi kesen iki doğru arasında kalan açıya denir. Çevre açının dört özellikliğinden bahsedeceğiz;
$\alpha$ ölçüsü BAC açısı çevre açıdır. $\overparen{B C}, B A C$ açısının gördüğü yaydır.

Çemberin çevre açısı

1. Çevre açının ölçüsü, bu açının gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir. O merkezli çemberde [AD] çap olmak üzere, $m(\overparen{B D})=a$ ve $m(\overparen{D C})=b$ olsun. Buradan $m(\widehat{B O D})=a$ ve $(\widehat{D O C})=b$ olur. $O A B$ ve $O A C$ ikizkenar üçgen olduğundan $m(\widehat{O A B})=m(\widehat{O B A})=\frac{a}{2}$ ve $m(\widehat{O A C})=m(\widehat{O C A})=\frac{b}{2}$ olur.
A çevre açısının ölçüsü $m(\widehat{A})=\frac{a+b}{2}=\frac{m(\overparen{B C})}{2}$ olur.

Çevre açının ölçüsü, bu açının gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşit olur

2. Çevre açının ölçüsü aynı yayı gören merkez açının ölçüsünün yarısına eşittir. Çemberde $m(\widehat{\mathrm{BAC}})=\frac{m(\widehat{\mathrm{BOC}})}{2}=\frac{a+b}{2}$ olur.
Aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri eşittir.
$m(\overparen{DAB}) =$ m(\overparen{DCB})

Çevre açının ölçüsü aynı yayı gören merkez açının ölçüsünün yarısına eşit olur

3. Bir çemberde çapı gören çevre açının ölçüsü $90^{\circ}$ olur.
$O$ merkezli çemberde çapı gören çevre açı A açısıdır. A açısı BDC çember yayını görmektedir. O, çemberin merkezi olduğu için $m(\widehat{B D C})=180^{\circ}$ olur. Buradan $m(\widehat{A})=\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}$ olur.

Çemberde çapı gören çevre açının ölçüsü $90^{\circ}$ olur

4. Bir çemberde paralel iki kirişin arasında kalan yayların ölçüleri birbirine eşittir.
$[A B] / /[C D]$ olmak üzere $C B A$ ve $D C B$ açıları iç ters açılar olup $m(\widehat{A B C})=m(\widehat{B C D})$ olur.
Aynı çevre açının gördüğü yayların ölçüleri eşit olduğundan $m(\overparen{A C})=m(\overparen{B D})$ olur.

Çemberde paralel iki kirişin arasında kalan yayların ölçüleri birbirine eşit olur

Teğet-Kiriş Açı

Teğet-Kiriş açısı, köşesi çember üzerinde bulunan ve kenarlarından biri çemberin kirişi, diğeri çemberin teğeti olan açıya denir.
CAB açısı çemberin bir teğet-kiriş açısıdır. $C A B$ açısının gördüğü yay $A B$ yayıdır.
Çemberde $O A$ ve $O B$ doğru parçaları çizildiğinde ikizkenar üçgen olan OAB üçgeni elde edilir. $[O A] \perp[A C]$ olur. Merkez açının ölçüsü $\alpha$ olsun. Bu durumda $m(\widehat{A B})=\alpha$ olur.
$m(\widehat{\mathrm{BAO}})=m(\widehat{\mathrm{OBA}})=\theta$ olsun. Bu durumda
OAB üçgeninde $2 \theta+\alpha=180^{\circ}$ eşitliğinin her iki yanı 2 ye bölündüğünde $\theta+\frac{\alpha}{2}=90^{\circ}$ olur. Buna göre
CAB teğet-kiriş açısının ölçüsü $m(\widehat{C A B})=\frac{\alpha}{2}$ olur.

Çemberde teğet-kiriş açısı

Teğet-kiriş açının ölçüsü, açının gördüğü yay ölçüsünün yarısına eşittir. Bir çemberde aynı yayı gören teğet-kiriş açı ile çevre açının ölçüleri eşittir.
$m(\widehat{A B D})= m(\widehat{A C B})$ olur.

Teğet-kiriş açının ölçüsü, açının gördüğü yay ölçüsünün yarısına eşit olur

İç Açı

İç açı, çemberin içinde herhangi bir noktada kesişen iki kirişin oluşturduğu açıların her birine denir. Ölçüsü α olan DKC açısı çemberin iç açılarından biridir. DKC açısının gördüğü yaylar CD ve AB yaylarıdır.
$m(\widehat{\mathrm{DBC}})=a$ ve $m(\widehat{\mathrm{ADB}})=b$ olsun. Buna göre $m(\overparen{D C})=2 a$ ve $m(\overparen{A B})=2 b$ olur.
Buradan $\alpha=a+b=\frac{m(\overparen{A B})+m(\overparen{C D})}{2}$ olur. Yani bir çemberde iç açının ölçüsü, bu açının gördüğü yayların ölçüleri toplamının yarısına eşittir.

Çemberin iç açısı

Dış Açı

Dış açı, bir çembere dışındaki noktadan çizilen iki kesenin, iki teğetin veya bir teğetle bir kesenin çemberin dışında oluşturduğu açıya denir. DEC açısı bu çemberin bir dış açısıdır. E açısının görmüş olduğu yaylar AB ve CD yaylarıdır. A ve D noktaları birleştirilirse AB yayını gören çevre açı elde edilir.
$m(\widehat{C E D})=\alpha, m(\overparen{A B})=a$ ve $m(\widehat{C D})=b$ olsun. $m(\overparen{A B})=a$ olduğundan $m(\widehat{\mathrm{BDA}})=\frac{a}{2}$ olur.
$A E D$ üçgeninde $m(\widehat{C A D})=\alpha+\frac{a}{2}$ olur. $\widehat{C A D}$ çevre açı olduğundan gördüğü yayın yarısına eşittir.
Buradan $\alpha+\frac{a}{2}=\frac{b}{2} \Rightarrow \alpha=\frac{b-a}{2}$ olur. Bir dış açının ölçüsü, gördüğü yaylardan büyük olan açı ile küçük olan açının ölçüsünün farkının yarısına eşittir.

Çemberin dış açısı

$[BA$ ve $[B C$ çembere sırasıyla $A$ ve $C$ noktalarında teğet olsun. $m(\widehat{A B C})=\frac{m(\widehat{A D C})-m(\overparen{A C})}{2}$ eşitliğinde $m(\widehat{A D C})=360^{\circ}-m(\overparen{A C})$ yazıldığında $m(\widehat{\mathrm{ABC}})=\frac{360^{\circ}-m(\widehat{\mathrm{AC}})-m(\widehat{\mathrm{AC}})}{2}$ olur.
$m(\widehat{\mathrm{ABC}})=180^{\circ}-m(\widehat{\mathrm{AC}})$ olduğundan $m(\widehat{\mathrm{ABC}})+m(\widehat{\mathrm{AC}})=180^{\circ}$ olur.

Çembere teğet iki doğrunun oluşturduğu dış açı

O merkezli çemberde OB doğru parçası $B$ açısını ve $A C$ yayını iki eş parçaya böler. $m(\widehat{A B C})+m(\widehat{A E C})=180^{\circ}$ eşitliğinin her iki tarafi 2 ile bölündüğünde,

$m(\widehat{\mathrm{ABO}})+m(\widehat{\mathrm{AE}})=90^{\circ} \text { olur. }$

Çemberde dış açı

Çevrel Çember ve Sinüs Teoremi

Çevrel çember, bir üçgenin köşelerinden geçen çembere denir. ABC üçgeninin kenar orta dikmelerinin kesim noktası O olsun. Bu durumda |AO| = |BO| = |CO| olduğundan O, çevrel çemberin merkezidir. Bir üçgenin kenar orta dikmeleri çevrel çemberin merkezinden geçer.

Çevrel çember

O merkezli ve R yarıçaplı çember, ABC üçgeninin çevrel çemberidir. Üçgenin kenarları, iç açıları ve çevrel çemberinin yarıçapı (R) arasındaki ilişki (yani sinüs teoremi);
$m(\widehat{A})=\alpha, m(\widehat{B})=\beta, m(\widehat{C})=\theta ;|B C|=a,|A C|=b,|A B|=c$ olsun.

Sinüs teoremi

Çember üzerinde bir $P$ noktasından $[BP]$ kenarı merkezden geçen PCB üçgeni çizildiğinde, $[BP]$ çap olduğundan $m(\widehat{P C B})=90^{\circ}$ olur. $A$ ile $P$ açıları aynı yayı gördüğünden $m(\widehat{A})=m(\widehat{P})=\alpha$ olur.

PCB dik üçgeninde $\sin \alpha=\frac{a}{2 R} \Rightarrow 2 R=\frac{a}{\sin \alpha}$ olur. Benzer şekilde $2 R=\frac{b}{\sin \beta}$ ve $2 R=\frac{c}{\sin \theta}$ eşitlikleri yazılır.
$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \theta}=2 R$ veya $\frac{a}{\sin \widehat{A}}=\frac{b}{\sin \widehat{B}}=\frac{c}{\sin \widehat{C}}=2 R$ elde edilir.

Çevrel çember ve Sinüs teoremi

Çemberde Teğet

Çemberde teğetin özelliklerini, dış teğet çember ve iç teğet çemberin özelliklerini kısaca özetledim.

Çemberde Teğetin Özellikleri

1. Çemberin merkezi ile teğetin değme noktasını birleştiren doğru, teğete diktir. Teğetin çembere. değme noktasından çizilen dikme çemberin merkezinden geçer.

Çemberde teğet

2. Bir çembere çemberin dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunlukları eşittir. Çemberin dışındaki bir $P$ noktasından $O$ merkezli çembere $A$ ve $B$ noktalarında teğet olan $[PA$ ve $[PB$ çizilir. $[PA]$ ve $[P B]$ birer teğet parçasıdır. A, B, P noktaları O merkezi ile birleştirilerek $\widehat{A O P}$ ve $\widehat{B P O}$ elde edilir. Teğet, değme noktasında yarıçapa diktir ve bu dik üçgenlerin hipotenüsleri ortaktır. Her iki üçgende Pisagor teoremi uygulandığında;

$|A P|^2+r^2=|O P|^2$
$|B P|^2+r^2=|O P|^2 \Rightarrow|A P|=|B P|$ olur.
Yani bir çembere çemberin dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunlukları eşittir.

Çembere çemberin dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunlukları eşit olur

Üçgenin İç Teğet Çemberi

O merkezli çember ABC üçgenine D, E, F noktalarında teğettir. Bir üçgenin üç kenarına da teğet olan çembere üçgenin iç teğet çemberi denir.

İç teğet çemberi

ABC üçgeninden çizilen açıortaylar O noktasında kesişir. Açıortay üzerinden kenarlara indirilen dikme uzunlukları birbirine eşit olduğundan $|OD| = |OE| = |OF| = r$ olur.
İç teğet çemberinin merkezi üçgenin iç açıortaylarının kesim noktasıdır.
$|AD| = |AF|, |BD| = |BE|, |CE| = |CF|$ olur.

İç teğet çemberinin merkezi üçgenin iç açıortaylarının kesim noktası olur

Üçgenin Dış Teğet Çemberleri

Dış teğet çemberi, üçgenin bir kenarına ve diğer iki kenarının uzantısına teğet olan çembere denir. Bir üçgenin herhangi bir açısının iç açıortayı ile diğer iki açısının dış açıortayı aynı noktada kesişir. O noktası, ABC üçgeninin dış teğet çemberinin merkezidir.

Dış teğet çember

Dairenin Çevresi ve Alanı

Direnin çevresi ve dairenin alanı ile ilgili önemli kısımları özetledim.

Dairenin Çevresi

Daire, bir çemberin kendisi ile iç bölgesinin birleşimine denir. O merkezli ve r yarıçaplı bir dairenin çevre uzunluğunun dairenin çap uzunluğuna (2r) oranı $\pi$ sabit sayısını verir.
$\frac{\text { Dairenin Çevre Uzunluğu }}{\text { Dairenin Çap Uzunluğu }}=\frac{C ̧}{2 r}=\pi \Rightarrow C ̧=2 \pi r$

Dairenin çevresi

O merkezli, r yarıçaplı dairede AOB merkez açısının gördüğü yay uzunluğu $|\overparen{A B}|$ ile gösterilir. Daireyi sınırlayan çember, ölçüsü $360^{\circ}$ olan bir yay olarak kabul edilebilir.

$\alpha$ ölçüsünün gördüğü yay uzunluğu

$x \cdot 360^{\circ}=2 \pi r \cdot \alpha \Rightarrow x=|\overparen{A B}|=2 \pi r \cdot \frac{\alpha}{360^{\circ}}$ olur.

Dairenin Alanı

Yarıçapı r olan dairenin alanı $A = \pi r^2$
Daire dilimi, bir dairede herhangi bir yayın ve yayın uç noktalarını dairenin merkeziyle birleştiren iki yarıçapın sınırladığı bölgeye denir.

Daire dilimi

AOB merkez açısı $\alpha$ ise daire diliminin alanı $=\frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot \pi r^2$ olur.

Daire diliminin alanı

O merkezli dairede

$|\overparen{A B}|=\frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi r \Rightarrow \frac{\alpha}{360^{\circ}}=\frac{|\overparen{A B}|}{2 \pi r} \text { olur. }$

$\begin{aligned}\text { Boyalı bölgenin alanı } & =\frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot \pi r^2 \\& =\frac{|\overparen{A B}|}{2 \pi r} \cdot \pi r^2=\frac{|\overparen{A B}| \cdot r}{2} \text { olur. }\end{aligned}$

Çember ve Daire ile İlgili Terimler ve Kavramlar

Çember,
Merkez,
Yarıçap,
Çap,
Kiriş,
Kesen,
Yay,
Merkez Açı,
Çevre Açı,
Teğet-Kiriş Açı,
İç Açı,
Dış Açı,
Teğet,
Teğet Parçası,
Yay Uzunluğu,
Daire,
Daire Dilimi