Rasyonel Sayılarda Çarpma ve Bölme İşlemi

Rasyonel sayılarda da çarpma ve bölme işlemi vardır. Bunu rasyonel sayılar arasındaki işlemlerle yaparız. Rasyonel sayılarla çarpma ve bölme işlemi dikkat edilmesi gereken kurallar vardır. Örneğin rasyonel sayıların negatif ya da pozitif olup olmadığına da işlemleri yaparken dikkat etmeliyiz.

Rasyonel Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri nasıl yapılır?

Hayatımızda en çok karşımıza çıkan işlemler rasyonel sayılarla çarpma ve bölme işlemleridir. Para alıp verirkenki kuruş kavramı 1 liranın 1/100 ü anlamına gelir. Bu işlemleri öğrenmek hayatımızda rasyonal sayıları nerelerde kullandığımızı keşfetmek içinde önemli ve eğlencelidir.

Çarpma İşlemi

Matematik Formülü

Çarpma işleminde paylar çarpımı paya, paydalar çarpımı paydaya yazılır.
ÖRNEK:

Matematik Formülü

ÖRNEK:

Matematik Formülü

Bölme İşlemi

Matematik Formülü

ÖRNEK:

Matematik Formülü

ÖRNEK:

Matematik Formülü

Birinci Dereceden Denklemler

Çok güzel konudur size sizin dilinizde anlattım aşağıdaki anlatımı hızlıca bir okuyup, anlamadığınız kısımları bir kaç tekrar daha okumanızı öneririm. Konuyu anladıktan sonrası sadece dört işlem demek.

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

ax+b=0 eşitliğindeki a ve b birer sayıdır ve x ise bilinmeyendir. bu tip denklemlere bir bilinmeyenli denklemler denir.

ax+b=0 eşitliğinin doğru olmasını sağlayan değer x denklemin köküdür.

Bu ifadeyi doğru yapan bir den çok x olabilir. Bir ya da birden çok x den oluşan bu cevaplar kümesine ÇÖZÜM KÜMESİ denir.

NOT: Kesirli bir eşitlik varsa ve x paydayı sıfır yapıyorsa o değer kök değildir.

Matematik Formülü

ifadesinde x = 1 değeri kök olarak kabul edilemez.

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler

ax+by+c=0 ifadesinde a,b ve c birer sayıdır. x ve y ise aradığımız iki bilinmeyendir. Bu eşitliği sağlayan (x,y) ikilileri köklerdir. İkili kelimesi yanyana yazılmış iki sayı olarak düşünebilirsiniz, gösterimi (x,y) ya da (1,2) gibi yapılıyor.

İpucu: eğer bu ifade her reel sayı için doğruysa a b ve c sıfır olmalı çünkü her zaman sıfıra eşit olması için x i ve y yi sıfırla çarpıp herhangi x ve y yi yok etmelisiniz. yani ax = 0 by = 0 ve c= 0 olmalı ki bu ifade her reel sayı için doğru olsun.

Denklem sistemlerini nasıl çözeriz

Yok etme yöntemi

yok etme yöntemi çok zor gibi göründüğünden ikinci tercihimiz yerine koyma yöntemi uzun ve daha kolay olabilir, bazen yok etme yöntemine mecbur kalabilirsiniz. Mecbur değilseniz ve soruya ilk bakışta bu yöntemi kullanmanız için gereken kat sayıları göremediyseniz yerine koyma yöntemini kullanın.

Yerine koyma yöntemi

Size verilen ilk denklemde x i eşitliğin bir tarafında yalnız bırakın.

X’i nasıl yalnız bırakırsınız:

Matematik Formülü ifadesinde x i yalnız bırakalım.

Matematik Formülü

önce altıyı karşıya attık sonra 2y yi karşıya attık, 4x solda kaldı

Matematik Formülü

iki tarafıda dörde böldük, ya da başka deyişle dördü karşıya attık x yalnız kaldı.

Bulduğunuz x değerini size verilen ikinci eşitlikteki x in yerine koyun.ü

Mesela birde elinizde 3x+y+5=0 denklemi olsun. Bu denklemde x yerine yukarda bulduğumuz değeri yazın içinde yde olarak.

Matematik Formülü olsun

Sonra hesaplamaları yapınca karşınıza sayısal bir y değeri çıkacak. Bulduğunuz y değerini verilen iki eşitlikten birine yazarak x değerinide bulabilirsiniz.

Faiz Nasıl Hesaplanır

Faiz hesaplama ve faiz problemleri matematiğin en zevkli konularından biridir. Çünkü faiz kavramı, günlük hayatta sürekli karşımıza çıkan ve aşina olduğumuz bir kavramdır.

Faiz hesabı yapmak için sabırsızlandığınızı biliyoruz ancak dilerseniz önce faizin tanımıyla başlayalım. Faiz, kısaca, bankaya yatırılan paranın zaman geçtikçe değerlenmesi anlamına gelir. Yani bugün faize yatırdığınız A lira günler, aylar veya yıllar sonra paranızı bankadan çekerken A+F lira olacaktır. Burada F, faiz gelirini ifade eder. Faiz geliri, bankanın uyguladığı faiz oranı ve  paranın bankada kaldığı süreye göre değişiklik gösterir. Faiz hesapları basit faiz ve bileşik faiz olmak üzere ikiye ayrılır. Hem basit faiz hesaplamalarında hem de bileşik faiz hesaplamalarında karışıklık yaşanmaması için 1 ay= 30 gün  ve 1 yıl= 360 gün olarak kabul edilir.

Basit Faiz Formülü:

Matematik Formülü


Bileşik Faiz Formülü:

Matematik Formülü

Basit Faiz Nedir?

Basit faiz; bankaya yatırılan ana paranın değişmediği kabul edilerek hesaplanan faiz geliridir. Basit faiz formüllerine geçmeden önce formüllerde kullanacağımız değişkenleri tanıyalım:

A: Anapara yani bankaya yatırdığımız ilk para. Kimi kaynaklarda kapital olarak da ifade edilir.

F: Faiz geliri

n: Faiz yüzdesi, gerçek hayatta bankadan bankaya değişiklik gösterebileceği için sorularda da farklı değerler olarak karşımıza çıkar

t: Zaman yani ana paranın bankada kaldığı toplam süre

Ana formülümüz aşağıdaki gibi olacaktır.

Matematik Formülü

Şimdi bu değişkenlerin kullanılmasıyla elde edilen formüllere göz atalım;

Günlük Faiz: Matematik Formülü

Aylık Faiz: Matematik Formülü

Yıllık Faiz: Matematik Formülü

Formülleri dikkatlice incelerseniz sadece paydada kalan kısmın değişiklik gösterdiğini fark edebilirsiniz. O yüzden tüm formülleri ezberlemek yerine sadece yıllık faiz formülünü ezberledikten sonra yıllık faizin paydasındaki 100’ü bir yılda 12 ay olduğu için 12 ile çarptığınızda aylık faiz formülünü, bir yılda 360 gün olduğu için 360 ile çarparak günlük faiz formülünü kolaylıkla elde edebilirsiniz.

Birleşik Faiz Nedir?

Bileşik faiz, anaparanın sabit olmadığı, yıllık faizin ana paraya dahil edilerek bir sonraki yılda daha fazla faiz geliri elde edildiği durumu ifade etmek için kullanılır. Birleşik faiz formüllerine geçmeden önce formüllerde kullanacağımız değişkenleri tanıyalım:

A: Anapara yani bankaya yatırdığımız ilk para. Kimi kaynaklarda kapital olarak da ifade edilir.

F: Faiz geliri

n: Faiz yüzdesi, gerçek hayatta bankadan bankaya değişiklik gösterebileceği için sorularda da farklı değerler olarak karşımıza çıkar

t: Zaman yani ana paranın bankada kaldığı toplam süre

Ana formülümüz aşağıdaki gibi olacaktır.

Matematik Formülü  

Çarpanlara Ayırma Yöntemleri

Çarpanlarına ayırma bir ifadeyi daha küçük derece ile (üslü) yazmaktır. Mesela küplü bir ifadeyi kareli ifadelerle yada kareli ifadeleri birinci derece( üssü bir) ifadelerle yazmak gibi.

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma

Ortak Çarpan Parantezine Alma

İki Kare Farkı

İki Küp Toplamı veya Farkı

Matematik Formülü Biçimindeki İfadeler

Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi

Fonksiyonlar

Fonksiyonlar konusu; tıpkı matematiğin diğer konuları gibi günlük yaşamda sıkça kullanılmaktadır. Evimize yeni bir elektronik cihaz alırken, cihazın fonksiyonları hakkında bilgi sahibi olmak isteriz. Hayatımızı kolaylaştıran eşyaları anlatırken –fonksiyonel- sıfatını kullanırız. Fonksiyon kelimesinin sözlük anlamı -işlev, görev- olarak karşımıza çıkar. Fonksiyon kavramının matematikteki anlamı da sözlükteki anlamına oldukça yakındır. Matematiksel olarak fonksiyon kavramı; -değişken sayıları girdi olarak kullanarak bunlardan sayısal bir sonuç almamızı sağlayan kurallar- anlamına gelmektedir.

Fonksiyon kavramını günlük hayattan basit bir örnekle açıklayalım;

  • Değirmen Fonksiyonu: Tarladan topladığımız buğdayları değirmene verdiğimizde karşılığında un alırız. Burada buğday girdi, buğdayın öğütülmesi sırasında değirmende gerçekleşen işlemler fonksiyonun kuralı, işlem tamamlandığında elde ettiğimiz un da sonuç olacaktır. 

Fonksiyonların Gösterimi       

A ve B boş küme olmayan herhangi iki küme olmak üzere, Matematik Formülü kartezyen çarpım kümesinin ayrı ayrı tüm alt kümelerine A’dan B’ye bir bağıntı diyoruz. Bağıntıları göstermek için Matematik Formülü gibi semboller kullanıyoruz.

A’dan B’ye tanımlanan herhangi bir bağıntı, aşağıdaki iki şartı sağlıyorsa bu bağıntıya fonksiyon adını veririz:

  1. A kümesinde eşleşmemiş eleman bulunmamalıdır.
  2. A kümesindeki rastgele bir eleman, B kümesinde sadece bir elemanla eşleşmelidir.

Örneğin; A’dan B’ye tanımlı bir f bağıntımız olsun. Bu bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için:

  1. Her Matematik Formülü olacak şekilde bir Matematik Formülü var ve
  2. Matematik Formülü olduğunda  Matematik Formülü oluyorsa, f bağıntısına fonksiyon deriz.

 A kümesinden B kümesine tanımladığımız f fonksiyonunu Matematik Formülü şeklinde gösteririz. Matematik Formülü şeklinde yazarız. Bu şekilde gösterilen bir fonksiyonda c’ye bağımsız değişken, d’ye de bağımlı değişken ismini veririz.

Matematik Formülü şeklindeki gösterimde, A kümesi fonksiyonun tanım kümesi, B kümesi ise fonksiyonun değer kümesi adını alır.

A kümesinde bulunan elemanların, f fonksiyonu aracılığıyla B kümesinde eşleştiği elemanlardan meydana gelen kümeye fonksiyonun görüntü kümesi diyoruz. Görüntü kümesi, f(A) şeklinde gösterilir  ve Matematik Formülü dir.   

Eşit Fonksiyonlar

Fonksiyonlar da aynı sayılar ve denklemler gibi birbirlerine eşitlenebilir. Matematik Formülü ve Matematik Formülü şeklinde iki fonksiyon düşünelim. Matematik Formülü için Matematik Formülü oluyor ise f ve h fonksiyonlarına eşit fonksiyonlar deriz. Eşit fonksiyonları Matematik Formülü şeklinde gösteririz.

Birim Fonksiyon

Matematik Formülü bir fonksiyon iken, tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşleyen fonksiyonlara birim fonksiyon denir. Birim fonksiyonu Matematik Formülü şeklinde gösteriyoruz.

Sabit Fonksiyon

Matematik Formülü bir fonksiyon iken, tanım kümesindeki tüm elemanlar değer kümesindeki yalnızca bir eleman ile eşleşiyorsa, h fonksiyonuna sabit fonksiyon deriz. Sabit fonksiyonu, Matematik Formülü olmak üzere, h(x)= c şeklinde gösteririz.

Doğrusal Fonksiyon

f fonksiyonu, doğal sayılar kümesinde tanımlı ve f fonksiyonunun değer kümesi de yine doğal sayılar iken;

Matematik Formülü olmak üzere, Matematik Formülü biçiminde gösterilen fonksiyonlara doğrusal fonksiyon diyoruz.  Bu ifade, fonksiyonun görüntü kümesinin analitik düzlemde olduğunu gösterir.  

Çarpanlara Ayırma | Tam Kare İfadeler – Tam Küp İfadeler

Tam Kare İfadeler

Eğer tam kare ifadeleri öğrenmek için geldiyseniz doğru yerdesiniz. Matematikteki KEK SORU gruplarından birine daha hoş geldiniz. Bu konu aynı zamanda matematiksel düşünme gücünüzü artıracaktır. Önemli konulardan biridir. Hedefiniz bu konuyu öğrenirken konudaki matematiği görmeye çalışmak olsun.

Matematik Formülü

Birincinin karesi, ARTI birinci ile ikincinin çarpımının iki katı, ARTI ikincinin karesi



Oynat


Matematik Formülü

Birincinin karesi, EKSİ birinci ile ikincinin çarpımının iki katı, ARTI ikincinin karesi


Matematik Formülü

Birincinin karesi, ARTI ikincinin karesi, ARTI üçüncünün karesi, ARTI birinci ile ikincinin çarpımının iki katı, ARTI ikinci ile üçüncünün çarpımının iki katı, ARTI birinci ile üçüncünün çarpımının iki katı.


Bu ifadeleri ezberlerken aralarındaki uyumu fark etmek. Tekerleme gibi gittiklerini hissetmek işinizi kolaylaştırabilir.

Örnek sorulara gidecek (gelecekte) —->

Tam Küp İfadeler

Matematik Formülü

birincinin küpü ARTI üç tane birincinin karesi çarpı ikinci ARTI üç tane birinci çarpı ikincinin karesi ARTI ikincinin küpü

Matematik Formülü

birincinin küpü EKSİ üç tane birincinin karesi çarpı ikinci ARTI üç tane birinci çarpı ikincinin karesi EKSİ ikincinin küpü

Tam küpte EKSİ yi koyarken dikkat etmeniz gereken temel özellik İşaretlerin: ilki ARTI, ikinci EKSİ, üçüncü ARTI, dördüncü EKSİ

YANİ +-+- diye gidiyor. Bu aslında Matematik Formülü içinde geçerliydi +-+ olarak gidiyordu.

Eğer tam kare ifadeleri öğrenmek için geldiyseniz sesli okuyarak bir tekrar daha etmeye, ifadelerin yazılışın daki ritmi yakalamaya çalışın. Bir kaç sefer sonra, kendinizide verirseniz aklınızda kalmaya başlayacaktır. Matematikte en kek soru grubu olarak düşünebileceğiniz bir konudur. Tek yapmanız gereken bir kaç formülü benimsemektir, özümsemek,ezberlemekte diyebilirsiniz.

Gözlemlerim bu konuda 300 soru çözüldükten sonra sakız gibi beyine yapışan fomüller olduklarını gösteriyor. Siz bu kadar soru çözmeseniz bile son bir kaç tekrarı yapıp geçin.