Tam Sayılar

Bir başka sayı kümesi Tam Sayılar. Doğal sayılar kümesini negatif sayılarla genişletmek için tam sayılar kümesi tanımlanmıştır ve Z harfi ile gösterilir.

Örneğin;

matematik formülü denkleminin çözümü

matematik formülü olacağından

Denklemin doğal sayılar kümesinde çözümü yoktur çünkü doğal sayılarda negatif sayılar yoktur.

Bu gibi durumlarda doğal sayılar kümesi yetersiz kaldığı için tam sayılar kümesi tanımlanmıştır ve Z harfi ile gösterilir.

Tam sayılar kümesi, eksi sonsuzdan başlayıp artı sonsuza kadar devam eden tam sayıları içerir.  

Tam sayılar kümesinin matematiksel gösterimi:

Z = { -∞, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …, +∞ } şeklindedir.

Burada tam sayılar kümesinin doğal sayılar kümesini de kapsadığını ve doğal sayılara ek olarak negatif tam sayıları ve eksi sonsuzu da içine aldığına dikkat etmelisiniz.

Doğal Sayılar

Doğal sayılar kümesi, N harfi ile gösterilir ve sıfırdan başlayıp artı sonsuza kadar devam eden tam sayıları içerir.

Doğal sayılar kümesinin ders kitaplarında

N = { 0, 1, 2, 3, …, +∞ }

şeklinde ifade edildiğini görmüşsünüzdür. Ama aklınızda daha kolay kalması açısından doğal sayıları doğal yani bildiğimiz sayılar olarak düşünebilirsiniz.

Dikkat etmeniz gereken en önemli nokta sıfır ve artı sonsuz da bu kümeye dahildir.

Rasyonel Sayılarda Dört İşlem

Toplama ve Çıkarma

matematik formülü

Rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma yapabilmek için öncelikle paydaları eşitlememiz gerekir:

matematik formülü

Çarpma

Rasyonel sayılarda çarpma işlemi yaparken paydaki sayıları kendi aralarında çarpıp paya, paydadaki sayıları kendi aralarında çarpıp paydaya yazarız:

 matematik formülü

Bölme

Rasyonel sayılarda bölme işlemi yapmak için; işleme girecek ilk rasyonel sayıyı aynen yazar, ikinci rasyonel sayıyı ise ters çeviririz. Ardından çarpma işlemi gerçekleştiririz:

matematik formülü

Fonksiyon Grafiği

matematik formülü fonksiyonuna ait tüm noktalar koordinat sistemi üzerinde gösterildiğinde oluşan noktalar kümesine f fonksiyonunun grafiği diyoruz. 

Bir fonksiyonun grafiği çizilirken tanım kümesinde bulunan elemanları yatay -x- ekseninde, değer kümesinde bulunan elemanları ise düşey -y- ekseninde gösteriyoruz.

Fonksiyonun Grafiği

matematik formülü şeklinde yazılan doğrusal fonksiyonların grafiğini çizerken en az iki adet x değeri için f(x) değerlerini bulmamız gerekir. Bulduğumuz matematik formülü noktalarını koordinat sisteminde işaretleyip bu noktaları bir çizgiyle birleştirdiğimizde f fonksiyonunun grafiğini elde etmiş oluruz. Örnek olarak matematik formülü grafiğini çizip inceleyelim:

Dikey Doğru Testi

Elimizde, grafiği verilmiş bir bağıntı olduğunu düşünelim. Bu grafiğin bir fonksiyona ait olup olmadığını anlamak için, bağıntının tanım aralığının her bir noktasından y eksenine paralel, düşey doğrular çiziyoruz. Çizdiğimiz doğrular, grafiği yalnızca bir noktada kesiyorsa bu grafiğin bir fonksiyona ait olduğunu söylüyoruz.

Elimizdeki grafiğin fonksiyon olup olmadığını görmek için uyguladığımız bu teste dikey(düşey) doğru testi diyoruz.

Doğrusal Fonksiyonların Grafiği

Doğrusal fonksiyonların grafiğini çizerken, fonksiyonun doğrusal bir fonksiyon olduğundan yani matematik formülü şeklinde yazıldığından emin olmalıyız. Bu fonksiyonun grafiğini çizerken, fonksiyonun matematik formülü için y eksenini kestiği noktaya ve matematik formülü için x eksenini kestiği noktaya ihtiyaç duyarız. Bu iki noktayı belirledikten sonra grafiği çizebiliriz. Örneğin; matematik formülü fonksiyonunun grafiği için matematik formülü ve matematik formülü noktalarını birleştiririz:

Grafiği Verilen Fonksiyonların Denklemi

Fonksiyon grafiklerini yorumlarken; grafik üzerindeki noktalardan x ve y eksenine paralel doğrular çizeriz. y eksenine paralel çizdiğimiz doğruların x ekseninde kestiği noktalar fonksiyonumuzun tanım kümesini, x eksenine paralel çizdiğimiz doğrulan y ekseninde kestiği noktalar ise fonksiyonumuzun görüntü kümesini verir.

Grafiği verilen fonksiyonun denklemini yazarken, grafiğin x eksenini kestiği nokataya a ve y eksenini kestiği noktaya b dersek;

matematik formülü formülünü uygularak grafiği verilen fonksiyonun denklemini yazabiliriz.

Basit Eşitsizlikler

BU sayfada sizler için basit eşitsizlikler konusunu anlattım. Basit eşitsizlikleri öğrenmek önemlidir. Sizlere gerçek hayatta lazım olması muhtemeldir ve bu özelliği ile nadir konulardandır. Sadece sınav için değil, öğrenmek için çalışmanızı tavsiye ederim. İyi Çalışmalar…

matematik formülü olmak üzere;

matematik formülü gibi ifadelere basit eşitsizlikler diyoruz.

Basit eşitsizliklerle alakalı soruları çözerken basit eşitsizliklerin 10 farklı özelliğinden yararlanırız.

matematik formülü olmak üzere, basit eşitsizliklerin 10 özeliğini tek tek inceleyelim:

  • matematik formülü : Bir basit eşitsizliğin her iki tarafına da aynı sayıyı ekler veya çıkartırsak, basit eşitsizlik değişmez.
  • matematik formülü : Bir basit eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayı ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirmez. Ancak basit eşitsizliğin her iki tarafı da negatif bir sayı ile çarpılırsa eşitsizliğin yönü değişecektir.
  • matematik formülü : Bir basit eşitsizliğin her iki tarafı da bir pozitif sayı ile bölünürse, eşitliğin yönü değişmez. Ancak basit eşitsizliğin her iki tarafı da negatif bir sayı ile bölünürse eşitsizliğin yönü değişir.
  • matematik formülü olur. Buna, küçüktür ve büyüktür eşitsizliklerinin geçişme özelliği denir.
  • matematik formülü olur. Yani aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir.
  • Eğer x ile y sıfırdan farklı ve aynı işaretli sayılar ise; matematik formülü olur. Yani her iki tarafı da aynı işaretli olan basit eşitsizliklerde, iki tarafın da çarpmaya göre tersi alınırsa, eşitsizlik yön değiştirecektir.
  • matematik formülü olmak üzere;

matematik formülü olur. Yani pozitif sayılar arasındaki basit eşitsizliklerde, eşitsizliğin her iki tarafının da aynı pozitif doğal sayı ile kuvveti alınırsa eşitsizliğin yönü değişmez.

  • matematik formülü olmak üzere;

matematik formülü  : Negatif sayılar arasındaki basit eşitsizliklerde; her iki tarafın da tek doğal sayı ile kuvveti alınırsa basit eşitsizliğik yön değiştirmez. Ancak sıfır dışındaki çift doğal sayıları kuvvet olarak kullanırsak eşitsizliğin yönü değişecektir.

  • matematik formülü olmak üzere;

matematik formülü

matematik formülü  

matematik formülü   

matematik formülü

  • matematik formülü

Karmaşık Sayılarda İşlemler

Tüm sayı kümelerinde olduğu gibi karmaşık sayılar kümesinde de dört işlem yapmaya ihtiyaç duyarız. Karmaşık sayılar kümesinde işlem yaparken; karmaşık sayılar ve sanal sayı birimi konularında öğrendiğimiz temel kavramlardan faydalanacağız. Hazırsanız, karmaşık sayılarda işlemleri öğrenmeye toplama ve çıkarma işlemleriyle başlayabiliriz.

Karmaşık Sayılarda Toplama ve Çıkarma

Karmaşık sayılarda toplama ve çıkarma işlemlerinin temel mantığı aynıdır. Bu temel mantığı şu şekilde özetleyebiliriz: Karmaşık sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapılırken sanal ve gerçek kısımlar kendi aralarında toplanır veya çıkartılır. Yani sanal kısım sanal kısımla, gerçek kısım ise gerçek kısımla işlem görür. Kısacası elmalar elmalarla, armutlar armutlarla işlem görmelidir. Gelin ne demek istediğimizi basit örneklerle açıklayalım:

Örneğin matematik formülü ve matematik formülü sanal sayılarıyla işlem yapalım.

Bu durumda matematik formülü yani

matematik formülü olacaktır.

Aynı karmaşık sayıların farkını ise matematik formülü yani

matematik formülü olarak hesaplayabiliriz.

Gördüğünüz gibi iki veya daha çok karmaşık sayı arasında toplama ve çıkarma işlemi yaparken reel kısımları ayrı, imajiner kısımları ayrı değerlendiriyoruz. 

Karmaşık Sayılarda Çarpma

Karmaşık sayılarda çarpma işlemi yapmak oldukça basit ve keyiflidir. Karmaşık sayılara çarpma işlemini uygularken; reel kısımları hem reel hem sanal kısımlarla, sanal kısımları da hem reel hem de sanal kısımlarla ayrı ayrı çarpıp daha sonra reel kısımları reel kısımlarla, sanal kısımları ise sanal kısımlarla toplarız.

Örneğin; matematik formülü ve matematik formülü ile çarpma yapalım.

matematik formülü işlemini aşağıdaki gibi çözebiliriz:

matematik formülü

matematik formülü

matematik formülü olarak buluruz.

Burada matematik formülü kuralından faydalanarak matematik formülü ifadesini matematik formülü olarak hesapladığımıza dikkat etmelisiniz.

Karmaşık Sayılarda Bölme

Karmaşık sayılarda bölme işlemin de, kuralı bildiğiniz sürece problemleri rahatlıkla çözebilirsiniz. Karmaşık sayılarda bölme işlemi yapmak, aslında paydada (yani bölüm kısmında) yer alan karmaşık sayının tersini hem pay hem de payda ile çarpmak demektir.

Örneğin; matematik formülü işleminin sonucunu bulmak için

Öncelikle paydada yer alan karmaşık sayının tersini buluruz.

matematik formülü sayısının tersi matematik formülü olacaktır.

Şimdi ilk paragrafta kalın yazıyla belirtttiğimiz genişletme metodunu uygulayarak

matematik formülü ifadesini elde ederiz.

Ardından karmaşık sayılarda çarpma işleminde öğrendiklerimizi kullanarak sonucu

matematik formülü  şeklinde hesaplayabiliriz. 

Karmaşık Sayılarda İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Çözümü

İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde sıkça karşımıza çıkan ve hemen her soruda çözüm kümesine (yani denklemin köklerine) ulaşmamızı sağlayan matematik formülü formülünü hatırladınız mı? b kare eksi dört a c dediğinizi duyar gibiyiz. Peki delta formülünü daha önce görmüş olmamıza rağmen neden karmaşık sayılarla hiç karşılaşmadık? Gelin bu konuyu birlikte inceleyelim.

matematik formülü şeklinde ifade edilen bir denklemin köklerini bulmak yani denklemdeki x’in alabileceği değerlere ulaşmak için öncelikle matematik formülü formülünü kullanmamız gerekir. Formülü uygulayarak elde ettiğimiz matematik formülü değeri sıfırdan küçükse denklemin gerçek kökünün olmadığını yani denklemin bildiğimiz sayılarla çözülemeyeceğini söyleriz. İşte tam da bu noktada karmaşık sayılar kümesi  imdadımıza yetişir. Eğer ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin deltası sıfırdan küçükse, çözüm kümesi matematik formülü şeklinde ifade edilen karmaşık sayılardan oluşacaktır. İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin karmaşık sayılar arasındaki köklerini bulmak için aşağıdaki iki formülü kullanırız:

matematik formülü 

matematik formülü

Bu iki formülü dikkatlice incelediğimizde birbirlerine çok benzediklerini hatta iki formül arasındaki tek farkın pay kısmındaki toplama ve çıkarma işlemleri olduğunu görebiliriz. Yani ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin karmaşık sayı kökleri birbirlerinin eşleniğidir. Problemleri çözerken ilk kökümüzü matematik formülü şeklinde bulduysak, ikinci kök için hesaplama yapmadan matematik formülü yazabiliriz.

Şimdi, buraya kadar öğrendiklerimizi basit bir örnekle pekiştirelim.

Örneğin; matematik formülü denkleminin çözüm kümesini birlikte bulalım.

Bu denklemde

matematik formülü

matematik formülü

matematik formülü

Deltayı bulup köklerin var olup olmadığını kontrol etmeliyiz, eğer kökler yok dediğimiz durum, yani delta küçük sıfır matematik formülü çıkarsa karmaşık sayılarla budurumun üstesinden gelebiliriz.

matematik formülü

matematik formülü

matematik formülü

matematik formülü

matematik formülü oldu. Burda delta sıfırdan küçük olduğundan denklemin karmaşık kökü vardır.

O halde denklemin ilk kökü;

matematik formülü formülünü kullanarak

matematik formülü

matematik formülü şeklinde bulunur. İkinci kök, birinci kökün eşleniği olacağından formül ve işlemlerle uğraşmadan doğrudan matematik formülü yazabiliriz. Yani denklemimizin çözüm kümesini matematiksel olarak

matematik formülü şeklinde ifade edebiliriz.

Sanal Sayı Birimi “i”

matematik formülü denkleminde matematik formülü olduğunda,

Karesi negatif olan gerçek sayı olmadığından bu denklemin gerçek sayılar kümesinde çözümü yoktur. Bu nedenle yeni bir sayı kümesine ihtiyaç duymuştuk ve karmaşık sayılardan bahsetmiştik. Şimdi bu durumdan kendimizi kurtarmak için hayali bir sayı yani sanal sayı uyduruyoruz ve adını “imaginary” kelimesinin ilk harfi olan “i” harfi koyuyoruz.


Bu durumda “gerçek sayı olmayan ve karesi -1 e eşit olan sayı olarak i harfini tanımladık.


matematik formülü sayısına sanal sayı birimi (imajiner sayı birimi) deriz.


matematik formülü veya matematik formülü biçiminde gösteriyoruz. Bu gösterimi tamamen kabul ettik yukarıda belirttiğimiz gibi bu uydurduğumuz bir sayı.

Karmaşık Sayılar

Karmaşık sayılar aynı zamanda kompleks sayılar olarakta andığımız sakin bir konudur. İsminden dolayı gözünüzü korkutmasın zira lise matematiğinin en basit konularından biridir. Karmaşık sayılar konusundan gelecek hiçbir soruyu kaçırmayacağınızı düşünüyoruz. Peki nedir bu ismi korkunç kendisi zevkli ve basit olan kompleks sayılar?

Örneğin; matematik formülü denkleminin çözümü reel sayılar kümesinde tanımlı değildir. Yani bildiğimiz bir sayıya bu denklemin köklerini eşitleyemeyiz.

Çünkü reel sayılar kümesinde, karesi negatif değer veren bir sayı yoktur. Bu sebeple yeni bir sayı kümesine ihtiyaç duyarız. Karesi negatif değer veren sayıları tanımlamak için kullanılan bu kümeye karmaşık sayılar diyoruz.  Karmaşık sayılar kümesini C harfi ile gösteriyoruz.

Karmaşık sayılara örnek olarak matematik formülü , matematik formülü veya matematik formülü yi gösterebiliriz.

Matematiksel olarak herhangi bir karmaşık sayıyı matematik formülü olarak tanımlıyoruz. Bu tanımladığımız z sayısı bir karmaşık sayı. Bu kısımdan soru sorulur el alışkanlığıdır.

matematik formülü demek z sayısının gerçek kısmı a demektir. Bu ifadeyide sorularda görebilirsiniz ya da size ” z nin gerçek kısmı nedir? ” dediklerinde a demeniz gerekir. (“Re” ingilizce “real” kelimesinin ilk iki harfi)

matematik formülü demek z sayısının sanal kısmı b demektir. Aynı şekilde bu ifadeyide sorularda görebilirsiniz ya da size ” z nin sanal kısmı nedir? ” dediklerinde b demeniz gerekir. (“Im” ingilizce “imaginary” kelimesinin ilk iki harfi)

İki karmaşık sayı birbirine eşit ise sanal kısımları ve gerçek kısımları da birbirine eşittir. Nasıl yani? derseniz örnek olarak:

matematik formülü ve matematik formülü şeklinde matematik formülü ve matematik formülü sayıları birbirine eşit iki karmaşık sayı olarak kabul edelim.

Bu iki sayının gerçek kısımları olan a ve c birbirine eşittir; matematiksel olarak matematik formülü dir.

Bu iki sayının sanal kısımları olan b ve c birbirine eşittir; matematiksel olarak matematik formülü dir.


Karmaşık Sayıların diğer konu başlıkları :

Sanal Sayı Birimi “i”

Karmaşık Sayılarda İşlemler, Dört İşlem

Köklü Sayılar

matematik formülü eşitliğini sağlayan x sayısına a nın n. kuvvetten
kökü denir.

matematik formülü şeklinde gösterilir.
matematik formülü denkleminde x’i bulmak için 3 farklı durumu kontrol ederiz.

  1. durum: a > 0 için
    eğer a sıfırdan büyük ise ve n tek sayı ise a’nın n dereceden kökünü aldığınızda matematik formülü olur.
    n çift ise matematik formülü veya matematik formülü olur.
    Bu durumun sebebi iki negatif sayının çarpımının pozitif olmasıdır.
    x’in negatif mi pozitif mi olduğunu bilmediğimiz için ikiside olabilir deriz.
  2. durum: a < 0 için
    n tek ise matematik formülü olmak üzere sadece bir gerçek sayı kökü vardır.
    n çift ise x in bir gerçek sayı kökü yoktur.

  3. durum: a = 0 için
    x = n ve 0 = 0 olur.