ÇARPANLAR VE KATLAR Konu Anlatımı Özeti - 8. Sınıf

8. Sınıf Çarpanlar ve Katlar konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Başlıklar

Asal Sayılar

Asal sayılar, yalnızca 1 ve kendisiyle tam bölünebilen, yani sadece 1 ve o sayıya bölünerek tam kalanı oluşturan doğal sayılardır. Başka bir deyişle, asal sayılar yalnızca 1 ve kendisiyle bölünebilen sayılardır.
Örneğin, 2, 3, 5, 7, 11 gibi sayılar asal sayılardır çünkü sadece 1 ve kendilerine tam bölünebilirler. Diğer bir örnek olarak, 13’ü ele alalım. 13, yalnızca 1 ve 13 ile tam bölünebilir. Ancak 13’ü 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 veya 12’ye bölersek tam bölünmez, yani kalanı oluşur.
En küçük asal sayı ise 2’dir. Çünkü 2, sadece 1 ve kendisiyle tam bölünebilen en küçük doğal sayıdır. Diğer asal sayılar 2’den başlayarak sıralanır.

Bir pozitif tam sayının pozitif tam sayı çarpanları, aynı zamanda bu tam sayının tam bölenleridir.
Bir pozitif tam sayıyı ele alalım. Bu sayıyı tam bölenlerine ayırmak istediğimizde, bu sayının pozitif tam sayı çarpanlarını bulmak önemlidir. Pozitif tam sayı çarpanları, verilen sayıyı tam olarak bölen sayılardır.
Örneğin, 12 sayısını ele alalım. Bu sayının pozitif tam sayı çarpanları 1, 2, 3, 4, 6 ve 12’dir. Yani, 12’nin tam bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12’dir. Bu çarpanlar, 12 sayısını tam olarak bölebildiği için aynı zamanda tam bölenlerdir.
Bu durumu genelleştirirsek, herhangi bir pozitif tam sayının pozitif tam sayı çarpanları, aynı zamanda o sayının tam bölenleridir. Bu nedenle, tam bölenleri bulmak için o sayının pozitif tam sayı çarpanlarını incelemek yeterlidir.A

Asal çarpanlara ayırma (veya çarpanlara ayırma) bir sayıyı, sadece asal çarpanlara ayrıştırmaktır. Bu işlem, bir sayıyı oluşturan asal çarpanları bulmak ve bu çarpanları çarparak başlangıçtaki sayıyı elde etmek anlamına gelir. Asal çarpanlar, yalnızca 1 ve kendisiyle tam bölünebilen sayılardır.
Asal çarpanlara ayırma adım adım aşağıdaki şekilde gerçekleştirilebilir:

İlk adım olarak, asal çarpanlardan başlayarak sayının bölenlerini kontrol edin. Eğer bir sayı, bir asal sayıyla tam bölünüyorsa, bu asal sayıyı bir çarpan olarak kaydedin.
Bulduğunuz asal çarpanı kullanarak, başlangıçtaki sayıyı bu çarpana bölebilirsiniz. Böylece kalan sayıyı elde edersiniz.
Kalan sayıyı, yeni elde ettiğiniz sayıyı asal çarpanlara ayırma işlemini tekrarlayarak asal çarpanlara ayırın. Bu adımı, kalan sayı 1 olana kadar tekrarlayın.

Sonuç olarak elde edeceğiniz asal çarpanlar, başlangıçtaki sayıyı oluşturan çarpanlardır.

Asal Çarpanlara Ayırma

En Küçük Ortak Kat (EKOK)

EKOK, iki veya daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüne verilen isimdir. Başka bir deyişle, EKOK, verilen sayıların tamamının tam bölündüğü en küçük pozitif tamsayıdır.

EKOK’u bulmak için;
Çarpanlara ayırma yöntemi kullanılanılır. İlk adımda, verilen sayıları asal çarpanlara ayırırız. Ardından, her bir asal çarpanın en yüksek kuvvetini alarak bu çarpanları çarparız. Bu şekilde elde ettiğimiz sayı, EKOK olacaktır. Örneğin, 12 ve 18 sayılarının EKOK’unu bulalım:

EKOK

Örnek Soru: Soru: Bir yüzme kulübünde her 6 gün arayla bir antrenman yapılıyor, bir dans stüdyosunda ise her 8 gün arayla bir prova yapılıyor. Yüzme kulübü ve dans stüdyosu aynı gün birlikte antrenman ve prova yapmak istiyor. En erken kaç gün sonra bu gerçekleşir?

Çözüm: İki etkinlik arasındaki en küçük ortak katı (EKOK’u) bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için verilen sayıları çarpanlara ayıralım:
$6 = 2 . 3$
$8 = 2 . 2 . 2 = 2^3$
Şimdi, her bir asal çarpanın en yüksek kuvvetini alarak çarparız:
$EKOK (6, 8) = 2^3 . 3 = 8 . 3 = 24$
Sonuç olarak, yüzme kulübü ve dans stüdyosu aynı gün birlikte antrenman ve prova yapmak için en erken 24 gün sonra gerçekleşir.

En Büyük Ortak Kat (EBOB)

EBOB, iki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne verilen isimdir. Başka bir deyişle, EBOB, verilen sayıların tamamının bölündüğü en büyük pozitif tamsayıdır.

EBOB’u bulmak için: Çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır. Bu yöntemin ilk adımında, verilen sayıları asal çarpanlara ayırırız. Ardından, her bir asal çarpanın en düşük kuvvetini alarak bu çarpanları çarparız. Bu şekilde elde ettiğimiz sayı, EBOB olacaktır. Örneğin, 18 ve 24 sayılarının EBOB’unu bulalım:

EBOB

Örnek Soru: Bir okul 60 adet defter ve 84 adet kalem seti almak istiyor. Hem defterlerin hem de kalem setlerinin eşit sayıda olduğu en büyük paketleri hazırlamak istiyorlar. Her iki ürünü de aynı sayıda paket halinde almak için kaç paket hazırlamaları gerekiyor?

Çözüm: Her iki ürünü de eşit sayıda paket halinde almak için en büyük ortak bölgeyi (EBOB’u) bulmamız gerekiyor. Bu soruda, defter sayısının ve kalem seti sayısının EBOB’unu bulmamız gerekiyor.

Verilen sayıları bölenlere ayırarak EBOB’u bulalım:
$60 = 2^2 . 3 . 5$
$84 = 2^2 . 3 . 7$
Her bir asal çarpanın en düşük kuvvetini alarak çarparız:
$EBOB (60, 84) =$ 2^2 $. 3 = 4 . 3 = 12$
Sonuç olarak, okulun defterler ve kalem setleri için aynı sayıda paket hazırlaması gerektiğinde, en büyük paket sayısı 12’dir. Yani, 60 adet defter ve 84 adet kalem seti için 12 paket hazırlanmalıdır.

İki pozitif tam sayının 1’den başka ortak böleni yoksa, bu sayılara aralarında asal sayılar denir.
İki sayının aralarında asal olması, bu sayıların ortak bölenlerinin yalnızca 1 olduğunu ifade eder. Başka bir deyişle, bu sayıların hiçbir ortak asal çarpanları yoktur.
Örneğin, 15 ve 28 sayılarını ele alalım. Ortak bölenlerini bulmak için bu sayıları bölenlere ayırabiliriz:
$15 = 3 . 5$
$28 = 2^2 . 7$
Bu durumda, ortak bölenler 1’den başka hiçbir sayı değildir. Yani, 15 ve 28 sayıları aralarında asal sayılardır.
Başka bir örnek olarak, 9 ve 16 sayılarını ele alalım:
$9 = 3^2$
$16 = 2^4$
Bu durumda, 9 ve 16 sayılarının ortak böleni yalnızca 1’dir. Dolayısıyla, 9 ve 16 sayıları aralarında asal sayılardır.

Aralarında asal olan sayıların en büyük ortak böleni (EBOB’u) 1’dir ve en küçük ortak katı (EKOK’u) ise bu iki sayının çarpımıdır.İki sayının aralarında asal olması, bu sayıların ortak bölenlerinin yalnızca 1 olduğunu ifade eder. Dolayısıyla, en büyük ortak böleni 1’dir.

Örneğin, 9 ve 25 sayılarını ele alalım:
$9 = 3^2$
$25 = 5^2$
Bu sayılar aralarında asal olduğu için EBOB’u 1’dir.
En küçük ortak katı (EKOK’u) ise bu iki sayının çarpımına eşittir:
$EKOK = 9 . 25 = 225$
Dolayısıyla, 9 ve 25 sayıları aralarında asal olduğu için EBOB’u 1 ve EKOK’u 225’tir.

Bu kural, aralarında asal olan herhangi iki sayı için de geçerlidir. Eğer iki sayı aralarında asal ise, en büyük ortak bölenleri 1 ve en küçük ortak katları bu iki sayının çarpımı olacaktır.
Sıfırdan farklı iki doğal sayının çarpımı, bu iki sayının en büyük ortak böleni (EBOB) ve en küçük ortak katı (EKOK) çarpımına eşittir.

A ve B iki farklı doğal sayı olsun.
EBOB(A, B), A ve B’nin en büyük ortak bölenidir. Yani, A ve B’nin ortak bölenleri içerisinde en büyük olan sayıdır.
EKOK(A, B), A ve B’nin en küçük ortak katıdır. Yani, A ve B’nin katları içerisinde en küçük olan sayıdır.
Bu durumda, A ile B’nin çarpımı (A . B), EBOB(A, B) ile EKOK(A, B) çarpımına eşittir:
$A . B = EBOB(A, B) . EKOK(A, B)$
Örnek olarak, 6 ve 8 sayılarını ele alalım:
$EBOB(6, 8) = 2$
$EKOK(6, 8) = 24$
6 . 8 = 2 . 24
48 = 48
Gördüğünüz gibi, 6 ile 8’in çarpımı, EBOB ve EKOK çarpımına eşittir.

Tam Sayıların Tam Sayı Kuvvetleri

Bir sayının sıfır üssünün her zaman 1’ e eşittir.

$a^0 = 1$ ifadesi, herhangi bir sıfırdan farklı tam sayının sıfır üssünün daima 1 olduğunu ifade eder. Yani, hangi sayıyı üssü olarak alırsak alalım, sonuç her zaman 1 olacaktır. Örneğin, $2^0 = 1$ , $3^0 = 1$ gibi.

Bu kural, bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımlarını ifade eden üslü ifadelerde önemli bir yer tutar. Sıfır üssü, o sayının hiçbir çarpana katılmadan yalnızca kendisinin yer aldığı bir çarpımı ifade eder. Bu nedenle, her zaman sonuç 1 olur.

Negatif bir sayının çift üssünün her zaman pozitif olduğunu ifade eder. Haydi birlikte bu kuralı keşfedelim:
$(-a)^n = a^n$ ifadesi, bir pozitif tam sayı olan ‘a’ ve bir çift sayı olan ‘n’ için geçerlidir. Bu ifade, negatif bir sayının çift üssünün her zaman pozitif bir sayı olduğunu gösterir. Örneğin, $(-2)^2 = 2^2$ , $(-3)^4 = 3^4$ gibi.
Bu kuralın temel nedeni, negatif bir sayının çift bir üssünde negatif işaretin ortadan kalkmasıdır. Çünkü negatif bir sayının karesi veya herhangi bir çift üssü, negatif bir sayının kendisi ile çarpıldığında pozitif sonuç verir. Örneğin, $(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4$ , $(-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 81$ gibi.
Bu kural, üslü ifadelerde negatif sayıların çift üssünün pozitif olduğunu hatırlatır. Çünkü negatif işaretin karesi veya diğer çift üssü pozitif bir sonuç verir.

Üslü İfadeler

Bir sayının kendisi ile tekrarlı çarpımlarının kısa bir şekilde gösterilmesine üslü ifade denir. Üslü ifadeler matematikte sayıların kuvvetlerini göstermek için kullanılır. Bir sayının üssü, sayının kendisiyle tekrarlı çarpımlarını ifade eder. Hadi örneklerle inceleyelim:

İlk olarak, 1’in üssünü ele alalım. $1^a$ şeklinde gösterilen bu ifade her zaman 1’e eşittir. Yani, hangi sayıyı üssü olarak alırsak alalım, sonuç her zaman 1 olacaktır. Örneğin, $1^3 = 1$ , $1^5 = 1$ gibi.

Bir sonraki örnek, herhangi bir sayının birinci kuvvetidir. Bu ifade, sayının kendisini temsil eder. Yani, herhangi bir sayının birinci kuvveti o sayıya eşittir. Örneğin, $5^1 = 5$ , $2^1 = 2$ gibi.

Üslü ifadelerin işaretleri ve payda ile payın yer değiştirilmesiyle ilgilidir. Hadi başlayalım:
İlk olarak, $\frac{1}{a^{n}} = a^{-n}$ ifadesine bakalım. Bu ifade, bir sayının negatif üssünün tersinin, o sayının pozitif üssüne eşit olduğunu gösterir. Yani, bir sayının tersinin üssünü alırken işaret değişir. Örneğin, $\frac{1}{2^{3}} = 2^{-3}$ şeklinde yazılabilir.
Diğer bir önemli kural ise $a^{n} = \frac{1}{a^{-n}}$ ifadesidir. Bu ifade, bir sayının pozitif üssünün tersinin, o sayının negatif üssüne eşit olduğunu gösterir. Yani, bir sayının tersinin negatif üssünü alırken işaret değişir. Örneğin, $3^{2} = \frac{1}{3^{-2}}$ şeklinde yazılabilir.

Bir üslü ifadenin pay ve paydasının yer değiştirildiğinde üssün işareti değişir. Yani, bir üslü ifadeyi paydasına gönderirken, üssün işareti tersine döner. Örneğin, $\frac{1}{2^{3}}$ ifadesinde, 2’nin üssü pozitifken, paydasına gönderirken işaret değişerek $2^{-3}$ olur.

Üslü ifadenin özelliklerine bakarsak;

Tabanları aynı olan üslü ifadelerin çarpılmasıyla ilgilidir. Bu kurala göre, tabanları aynı olan üslü ifadeleri çarptığımızda, taban aynen yazılır ve üsler toplanarak tabanın üssü olarak yazılır. Örneğin, $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$ şeklinde yazılabilir.
Tabanları farklı ve üsleri aynı olan üslü ifadelerin çarpılmasıyla ilgilidir. Bu kurala göre, tabanları farklı olan üslü ifadeleri çarptığımızda, tabanlar çarpılır ve taban olarak yazılır. Ortak olan üs ise aynen yazılır. Örneğin, $a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x$ şeklinde yazılabilir.
Bir üslü ifadenin üssünün alınmasıyla ilgilidir. Bu kurala göre, bir üslü ifadenin üssünü alırken, taban aynen yazılır ve kuvvetler çarpılarak üs olarak yazılır. Örneğin, $(a^x)^y = a^{x \cdot y}$ şeklinde yazılabilir.
Tabanları aynı olan üslü ifadelerin bölünmesiyle ilgilidir. Bu kurala göre, tabanları aynı olan üslü ifadeleri böldüğümüzde, taban aynen yazılır ve payın üssünden paydanın üssü çıkarılarak ortak tabanın üssü olarak yazılır. Örneğin, $\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$ şeklinde yazılabilir (Burada $a$ ‘nın sıfıra eşit olmadığını unutmayın).
bir bölmenin üslü ifadesinin genişletilmesiyle ilgilidir. Bu kurala göre, $\left(\frac{a}{b}\right)^x$ ifadesini genişletirken, payın üssünü alırken $a$ ‘nın üssünü, paydanın üssünü alırken ise $b$ ‘nin üssünü alırız. Örneğin, $\left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x}$ şeklinde yazılabilir (Burada $b$ ‘nin sıfıra eşit olmadığını unutmayın).

Ondalık Gösterimlerin Çözümlenmesi

10’un tam sayı kuvvetlerinin basamaklarla ilişkisini,

$10^0$ = 1 (Birler basamağı)
$10^1$ = 10 (Onlar basamağı)
$10^2$ = 100 (Yüzler basamağı)
$10^3$ = 1000 (Binler basamağı)
$10^4$ = 10000 (On binler basamağı)

$10^{-1} = \frac{1}{10} = 0,1$ (Onda birler basamağı)
$10^{-2} = \frac{1}{10} = 0,01$ (Yüzde birler basamağı)
$10^{-3} = \frac{1}{10} = 0,001$ (Binde birler basamağı)
$10^{-4} = \frac{1}{10} = 0,0001$ (Onda binde birler basamağı)
$10^{-5} = \frac{1}{10} = 0,00001$ (Yüzde binde birler basamağı)

10’un tam sayı kuvvetlerinin basamakları

Ondalık gösterimle verilmiş bir sayının çözümlemesi yapılırken, sayının basamak değerlerini toplamı biçiminde ifade etmek için 10’un tam sayı kuvvetleri kullanılır.

Çok Büyük ve Çok Küçük Sayılar

Çok büyük ve çok küçük sayılar, ondalık gösterimle farklı tam sayı kuvvetlerini kullanarak yazılabilir. Bu durumda, sayının ondalık gösterimindeki yazılış şekline göre 10’un hangi tam sayı kuvvetinin kullanılacağı belirlenir.

Örnek olarak, 235,000,000 sayısını ele alalım. Bu sayı, ondalık gösterimde $2.35 x 10^8$ şeklinde yazılabilir. Burada, virgülün sağında 8 basamak olduğu için 10’un 8. kuvveti kullanılır. Bu, sayının 100 milyon olarak ifade edilmesini sağlar.

Bir diğer örnek olarak, 0.0000043 sayısını ele alalım. Bu sayı, ondalık gösterimde $4.3 x 10^-6$ şeklinde yazılabilir. Burada, virgülün solunda 6 basamak olduğu için 10’un -6. kuvveti kullanılır. Bu, sayının 0.000001/10 yani 1 milyonun bir parçası olarak ifade edilmesini sağlar.

Çok Büyük ve Çok Küçük Sayıların Bilimsel Gösterimi

Bir gerçek sayı olan a’nın mutlak değeri, 1’den büyük ve 10’dan küçük ise ve n bir tam sayı ise, $a x 10^n$ şeklinde bir gösterime bilimsel gösterim denir. Bu gösterimde, sayı a 10’un kuvvetiyle çarpılır ve n ise bu kuvvetin üssünü temsil eder. Böylece, sayılar büyüklüklerine göre daha kolay karşılaştırılabilir ve ifade edilebilir. Örnek olarak, 0.000025 sayısını ele alalım. Bu sayı, bilimsel gösterimde $2.5 x 10^-5$ şeklinde yazılabilir.

ÖRNEK SORU: $0,26 x 10^13$ ; $26 x 10^-11$ ; $2,6 x 10^-14$ ; $2600 x 10^-6$ sayılarının bilimsel gösterimlerini bulunuz ve sıralamasını yapınız.

CEVAP:

$0,26 x 10^13$ : Bu sayı zaten bilimsel gösterimde verilmiştir. Burada, 0,26 sayısı tabanı temsil eder ve $10^13$ üs olarak yazılmıştır. Yani, sayı 26,000,000,000,000 (26 trilyon) olarak okunabilir.
$26 x 10^-11$ : Bu sayı da bilimsel gösterimde verilmiştir. Taban olarak 26 kullanılır ve $10^-11$ üs olarak yazılmıştır. Bu durumda, sayı 0.00000000026 olarak okunabilir.
$2,6 x 10^-14$ : Yine bilimsel gösterimde verilen bir sayıdır. Taban olarak 2,6 kullanılır ve $10^-14$ üs olarak yazılmıştır. Bu durumda, sayı 0.000000000000026 olarak okunabilir.
$2600 x 10^-6$ : Bu sayı da bilimsel gösterimde verilmiştir. Taban olarak 2600 kullanılır ve $10^-6$ üs olarak yazılmıştır. Bu durumda, sayı 0.0026 olarak okunabilir.

Sıralama yaparken, üslerin büyüklüğüne göre sıralama yapılır. Negatif üslere sahip sayılar, pozitif üslere sahip sayılardan daha küçük değerlere sahiptir. Bu durumda sıralama şu şekildedir:

$2,6 x 10^-14 < 26 x 10^-11 < 2600 x 10^-6 < 0,26 x 10^13$

ÇARPANLAR VE KATLAR Konu Anlatımı Özeti – 8. Sınıf