Tam Sayılar

Bir başka sayı kümesi Tam Sayılar. Doğal sayılar kümesini negatif sayılarla genişletmek için tam sayılar kümesi tanımlanmıştır ve Z harfi ile gösterilir.

Örneğin;

Matematik Formülü denkleminin çözümü

Matematik Formülü olacağından

Denklemin doğal sayılar kümesinde çözümü yoktur çünkü doğal sayılarda negatif sayılar yoktur.

Bu gibi durumlarda doğal sayılar kümesi yetersiz kaldığı için tam sayılar kümesi tanımlanmıştır ve Z harfi ile gösterilir.

Tam sayılar kümesi, eksi sonsuzdan başlayıp artı sonsuza kadar devam eden tam sayıları içerir.  

Tam sayılar kümesinin matematiksel gösterimi:

Z = { -∞, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …, +∞ } şeklindedir.

Burada tam sayılar kümesinin doğal sayılar kümesini de kapsadığını ve doğal sayılara ek olarak negatif tam sayıları ve eksi sonsuzu da içine aldığına dikkat etmelisiniz.

Doğal Sayılar

Doğal sayılar kümesi, N harfi ile gösterilir ve sıfırdan başlayıp artı sonsuza kadar devam eden tam sayıları içerir.

Doğal sayılar kümesinin ders kitaplarında

N = { 0, 1, 2, 3, …, +∞ }

şeklinde ifade edildiğini görmüşsünüzdür. Ama aklınızda daha kolay kalması açısından doğal sayıları doğal yani bildiğimiz sayılar olarak düşünebilirsiniz.

Dikkat etmeniz gereken en önemli nokta sıfır ve artı sonsuz da bu kümeye dahildir.

Rasyonel Sayılarda Dört İşlem

Toplama ve Çıkarma

Matematik Formülü

Rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma yapabilmek için öncelikle paydaları eşitlememiz gerekir:

Matematik Formülü

Çarpma

Rasyonel sayılarda çarpma işlemi yaparken paydaki sayıları kendi aralarında çarpıp paya, paydadaki sayıları kendi aralarında çarpıp paydaya yazarız:

 Matematik Formülü

Bölme

Rasyonel sayılarda bölme işlemi yapmak için; işleme girecek ilk rasyonel sayıyı aynen yazar, ikinci rasyonel sayıyı ise ters çeviririz. Ardından çarpma işlemi gerçekleştiririz:

Matematik Formülü

Fonksiyon Grafiği

Matematik Formülü fonksiyonuna ait tüm noktalar koordinat sistemi üzerinde gösterildiğinde oluşan noktalar kümesine f fonksiyonunun grafiği diyoruz. 

Bir fonksiyonun grafiği çizilirken tanım kümesinde bulunan elemanları yatay -x- ekseninde, değer kümesinde bulunan elemanları ise düşey -y- ekseninde gösteriyoruz.

Fonksiyonun Grafiği

Matematik Formülü şeklinde yazılan doğrusal fonksiyonların grafiğini çizerken en az iki adet x değeri için f(x) değerlerini bulmamız gerekir. Bulduğumuz Matematik Formülü noktalarını koordinat sisteminde işaretleyip bu noktaları bir çizgiyle birleştirdiğimizde f fonksiyonunun grafiğini elde etmiş oluruz. Örnek olarak Matematik Formülü grafiğini çizip inceleyelim:

Dikey Doğru Testi

Elimizde, grafiği verilmiş bir bağıntı olduğunu düşünelim. Bu grafiğin bir fonksiyona ait olup olmadığını anlamak için, bağıntının tanım aralığının her bir noktasından y eksenine paralel, düşey doğrular çiziyoruz. Çizdiğimiz doğrular, grafiği yalnızca bir noktada kesiyorsa bu grafiğin bir fonksiyona ait olduğunu söylüyoruz.

Elimizdeki grafiğin fonksiyon olup olmadığını görmek için uyguladığımız bu teste dikey(düşey) doğru testi diyoruz.

Doğrusal Fonksiyonların Grafiği

Doğrusal fonksiyonların grafiğini çizerken, fonksiyonun doğrusal bir fonksiyon olduğundan yani Matematik Formülü şeklinde yazıldığından emin olmalıyız. Bu fonksiyonun grafiğini çizerken, fonksiyonun Matematik Formülü için y eksenini kestiği noktaya ve Matematik Formülü için x eksenini kestiği noktaya ihtiyaç duyarız. Bu iki noktayı belirledikten sonra grafiği çizebiliriz. Örneğin; Matematik Formülü fonksiyonunun grafiği için Matematik Formülü ve Matematik Formülü noktalarını birleştiririz:

Grafiği Verilen Fonksiyonların Denklemi

Fonksiyon grafiklerini yorumlarken; grafik üzerindeki noktalardan x ve y eksenine paralel doğrular çizeriz. y eksenine paralel çizdiğimiz doğruların x ekseninde kestiği noktalar fonksiyonumuzun tanım kümesini, x eksenine paralel çizdiğimiz doğrulan y ekseninde kestiği noktalar ise fonksiyonumuzun görüntü kümesini verir.

Grafiği verilen fonksiyonun denklemini yazarken, grafiğin x eksenini kestiği nokataya a ve y eksenini kestiği noktaya b dersek;

Matematik Formülü formülünü uygularak grafiği verilen fonksiyonun denklemini yazabiliriz.

Basit Eşitsizlikler

BU sayfada sizler için basit eşitsizlikler konusunu anlattım. Basit eşitsizlikleri öğrenmek önemlidir. Sizlere gerçek hayatta lazım olması muhtemeldir ve bu özelliği ile nadir konulardandır. Sadece sınav için değil, öğrenmek için çalışmanızı tavsiye ederim. İyi Çalışmalar…

Matematik Formülü olmak üzere;

Matematik Formülü gibi ifadelere basit eşitsizlikler diyoruz.

Basit eşitsizliklerle alakalı soruları çözerken basit eşitsizliklerin 10 farklı özelliğinden yararlanırız.

Matematik Formülü olmak üzere, basit eşitsizliklerin 10 özeliğini tek tek inceleyelim:

  • Matematik Formülü : Bir basit eşitsizliğin her iki tarafına da aynı sayıyı ekler veya çıkartırsak, basit eşitsizlik değişmez.
  • Matematik Formülü : Bir basit eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayı ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirmez. Ancak basit eşitsizliğin her iki tarafı da negatif bir sayı ile çarpılırsa eşitsizliğin yönü değişecektir.
  • Matematik Formülü : Bir basit eşitsizliğin her iki tarafı da bir pozitif sayı ile bölünürse, eşitliğin yönü değişmez. Ancak basit eşitsizliğin her iki tarafı da negatif bir sayı ile bölünürse eşitsizliğin yönü değişir.
  • Matematik Formülü olur. Buna, küçüktür ve büyüktür eşitsizliklerinin geçişme özelliği denir.
  • Matematik Formülü olur. Yani aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir.
  • Eğer x ile y sıfırdan farklı ve aynı işaretli sayılar ise; Matematik Formülü olur. Yani her iki tarafı da aynı işaretli olan basit eşitsizliklerde, iki tarafın da çarpmaya göre tersi alınırsa, eşitsizlik yön değiştirecektir.
  • Matematik Formülü olmak üzere;

Matematik Formülü olur. Yani pozitif sayılar arasındaki basit eşitsizliklerde, eşitsizliğin her iki tarafının da aynı pozitif doğal sayı ile kuvveti alınırsa eşitsizliğin yönü değişmez.

  • Matematik Formülü olmak üzere;

Matematik Formülü  : Negatif sayılar arasındaki basit eşitsizliklerde; her iki tarafın da tek doğal sayı ile kuvveti alınırsa basit eşitsizliğik yön değiştirmez. Ancak sıfır dışındaki çift doğal sayıları kuvvet olarak kullanırsak eşitsizliğin yönü değişecektir.

  • Matematik Formülü olmak üzere;

Matematik Formülü

Matematik Formülü  

Matematik Formülü   

Matematik Formülü

  • Matematik Formülü

Sanal Sayı Birimi “i”

Matematik Formülü denkleminde Matematik Formülü olduğunda,

Karesi negatif olan gerçek sayı olmadığından bu denklemin gerçek sayılar kümesinde çözümü yoktur. Bu nedenle yeni bir sayı kümesine ihtiyaç duymuştuk ve karmaşık sayılardan bahsetmiştik. Şimdi bu durumdan kendimizi kurtarmak için hayali bir sayı yani sanal sayı uyduruyoruz ve adını “imaginary” kelimesinin ilk harfi olan “i” harfi koyuyoruz.


Bu durumda “gerçek sayı olmayan ve karesi -1 e eşit olan sayı olarak i harfini tanımladık.


Matematik Formülü sayısına sanal sayı birimi (imajiner sayı birimi) deriz.


Matematik Formülü veya Matematik Formülü biçiminde gösteriyoruz. Bu gösterimi tamamen kabul ettik yukarıda belirttiğimiz gibi bu uydurduğumuz bir sayı.

Köklü Sayılar

Matematik Formülü

X üzeri n eşittir a, eşitliğini sağlayan x sayısına a nın n. kuvvetten kökü denir.

Matematik Formülü a’nın n inci kuvvetten kökü şeklinde gösterilir.
Matematik Formülü X üzeri n eşittir a, denkleminde x’i bulmak için 3 farklı durumu kontrol ederiz.

  1. a büyüktür sıfır durumu için (a > 0) :
    eğer a sıfırdan büyük ise ve n tek sayı ise a’nın n dereceden kökünü aldığınızda şekildeki gibi gösterilir Matematik Formülü.

    n çift ise Matematik Formülü veya Matematik Formülü olur.

    n çift ise x: hem eksi n dereceden kök a ya hem artı n dereceden kök a ya eşit kabul edilir. Bu durumun sebebi iki negatif sayının çarpımının pozitif olmasıdır.
    x’in negatif mi pozitif mi olduğunu bilmediğimiz için ikiside olabilir deriz.
  2. a sıfırdan küçüktür durumu için (a < 0) :
    n tek ise Matematik Formülü n dereceden kök a olmak üzere sadece bir gerçek sayı kökü vardır.
    n çift ise x in bir gerçek sayı kökü yoktur.

  3. a eşittir sıfır durumu için ( a=0 ):
    Sıfır tane sıfırın çarpımı sıfırdır. Sıfırı kaç kere kendiyle çarparsanız çarpın yine sıfırdır. Karekök sıfır sıfırdır. Matematik Formülü Kökünü alırsanız x = 0 dır.

Fonksiyonlar

Fonksiyonlar konusu; tıpkı matematiğin diğer konuları gibi günlük yaşamda sıkça kullanılmaktadır. Evimize yeni bir elektronik cihaz alırken, cihazın fonksiyonları hakkında bilgi sahibi olmak isteriz. Hayatımızı kolaylaştıran eşyaları anlatırken –fonksiyonel- sıfatını kullanırız. Fonksiyon kelimesinin sözlük anlamı -işlev, görev- olarak karşımıza çıkar. Fonksiyon kavramının matematikteki anlamı da sözlükteki anlamına oldukça yakındır. Matematiksel olarak fonksiyon kavramı; -değişken sayıları girdi olarak kullanarak bunlardan sayısal bir sonuç almamızı sağlayan kurallar- anlamına gelmektedir.

Fonksiyon kavramını günlük hayattan basit bir örnekle açıklayalım;

  • Değirmen Fonksiyonu: Tarladan topladığımız buğdayları değirmene verdiğimizde karşılığında un alırız. Burada buğday girdi, buğdayın öğütülmesi sırasında değirmende gerçekleşen işlemler fonksiyonun kuralı, işlem tamamlandığında elde ettiğimiz un da sonuç olacaktır. 

Fonksiyonların Gösterimi       

A ve B boş küme olmayan herhangi iki küme olmak üzere, Matematik Formülü kartezyen çarpım kümesinin ayrı ayrı tüm alt kümelerine A’dan B’ye bir bağıntı diyoruz. Bağıntıları göstermek için Matematik Formülü gibi semboller kullanıyoruz.

A’dan B’ye tanımlanan herhangi bir bağıntı, aşağıdaki iki şartı sağlıyorsa bu bağıntıya fonksiyon adını veririz:

  1. A kümesinde eşleşmemiş eleman bulunmamalıdır.
  2. A kümesindeki rastgele bir eleman, B kümesinde sadece bir elemanla eşleşmelidir.

Örneğin; A’dan B’ye tanımlı bir f bağıntımız olsun. Bu bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için:

  1. Her Matematik Formülü olacak şekilde bir Matematik Formülü var ve
  2. Matematik Formülü olduğunda  Matematik Formülü oluyorsa, f bağıntısına fonksiyon deriz.

 A kümesinden B kümesine tanımladığımız f fonksiyonunu Matematik Formülü şeklinde gösteririz. Matematik Formülü şeklinde yazarız. Bu şekilde gösterilen bir fonksiyonda c’ye bağımsız değişken, d’ye de bağımlı değişken ismini veririz.

Matematik Formülü şeklindeki gösterimde, A kümesi fonksiyonun tanım kümesi, B kümesi ise fonksiyonun değer kümesi adını alır.

A kümesinde bulunan elemanların, f fonksiyonu aracılığıyla B kümesinde eşleştiği elemanlardan meydana gelen kümeye fonksiyonun görüntü kümesi diyoruz. Görüntü kümesi, f(A) şeklinde gösterilir  ve Matematik Formülü dir.   

Eşit Fonksiyonlar

Fonksiyonlar da aynı sayılar ve denklemler gibi birbirlerine eşitlenebilir. Matematik Formülü ve Matematik Formülü şeklinde iki fonksiyon düşünelim. Matematik Formülü için Matematik Formülü oluyor ise f ve h fonksiyonlarına eşit fonksiyonlar deriz. Eşit fonksiyonları Matematik Formülü şeklinde gösteririz.

Birim Fonksiyon

Matematik Formülü bir fonksiyon iken, tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşleyen fonksiyonlara birim fonksiyon denir. Birim fonksiyonu Matematik Formülü şeklinde gösteriyoruz.

Sabit Fonksiyon

Matematik Formülü bir fonksiyon iken, tanım kümesindeki tüm elemanlar değer kümesindeki yalnızca bir eleman ile eşleşiyorsa, h fonksiyonuna sabit fonksiyon deriz. Sabit fonksiyonu, Matematik Formülü olmak üzere, h(x)= c şeklinde gösteririz.

Doğrusal Fonksiyon

f fonksiyonu, doğal sayılar kümesinde tanımlı ve f fonksiyonunun değer kümesi de yine doğal sayılar iken;

Matematik Formülü olmak üzere, Matematik Formülü biçiminde gösterilen fonksiyonlara doğrusal fonksiyon diyoruz.  Bu ifade, fonksiyonun görüntü kümesinin analitik düzlemde olduğunu gösterir.