SAYMA VE OLASILIK Özet Konu Anlatımı – 10. Sınıf

10. Sınıf Sayma ve Olasılık konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Konuyu anladığınızı kontrol etmek için yazının altında yer alan listeye bakmanızı öneririm. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Sıralama ve Seçme

n!,

n faktöriyel olarak okunur ve gösterilir.

P(n, r),

n elemanlı bir kümenin r ‘li permütasyonlarının sayısı  olarak okunur ve gösterilir.

C(n, r) ve  \left(\begin{array}{l} n \\ r \end{array}\right),

n elemanlı bir kümenin r elemanlı kombinasyonlarının sayısı olarak okunur ve gösterilir.

Toplama ve Çarpma Yöntemlerini Kullanarak Sayma

Bire bir eşleme yoluyla sayma; bir kümenin elemanlarını, pozitif tam sayılar kümesinin elemanları ile sıralı olarak bire bir eşleyerek bulma işlemine denir.

Ayrık ve sonlu kümelerin birleşiminin eleman sayısını bulmak için, bu kümelerin eleman sayıları toplanmasına toplama  yoluyla sayma denir.  A ile B sonlu ve ayrık iki küme olmak üzere s(A U B) = s(A) + s(B) olur.

A X B kümesinin elemanları olan (x, y) sıralı ikililerinin sayısı s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere   m . n adet olur. Sıralı ikililerin sayısını bu şekilde bulma işlemine çarpma yoluyla sayma denir.

Saymanın Temel İlkesi

k tane olayın gerçekleştiği bir olaylar dizisinde birinci olay n_1 farklı biçimde, ikinci olay n_ 2 farklı biçimde ve bu şekilde devam edildiğinde k ‘ninci olay n_ k farklı biçimde gerçekleşiyorsa bu olayların tamamı n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot \ldots \cdot n_k çarpımı kadar farklı biçimde gerçekleşir.

n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = n !

Faktöriyel

\mathrm{n} \in \mathbb{N} olmak üzere 1 den n‘ ye kadar olan ardışık tam sayıların çarpımına n faktöriyel (çarpansal) denir ve n! ile gösterilir. Buna göre;

n !=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(n-1) \cdot n olur.

0 !=1 ve 1 !=1 olarak kabul edilir.

Birbirinden farklı n tane nesne yan yana n \cdot(n-1) \cdot(n-2) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=n! farklı şekilde sıralanabilir.

Permütasyon (Sıralama)

n ve r birer doğal sayı ve r \geq n olmak üzere n elemanlı bir kümenin birbirinden farklı r tane elemanından oluşan dizilişlerin her birine n ‘nin r ‘li bir permütasyonu denir. Permütasyon sayısı ile farklı dizilişlerin sayısı ifade edilir.

n elemanlı bir kümenin r ‘li permütasyonlarının sayısı P(n, r) ile gösterilir ve P(n, r)=\frac{n !}{(n-r) !} ile hesaplanır.

P(n, 0)=\frac{n !}{(n-0) !}=\frac{n !}{n !}=1 olur.

P(n, n)=\frac{n !}{(n-n) !}=\frac{n !}{0 !}=n! olur.

Tekrarlı Permütasyon

\mathrm{n}_1+\mathrm{n}_2+\mathrm{n}_3+\ldots+\mathrm{n}_{\mathrm{r}}=\mathrm{n} olmak üzere, n tane nesnenin n_1 tanesi özdeş, n_ 2 tanesi özdeş, …, n_ r tanesi özdeş ise bu n tane nesnenin farklı permütasyonlarının sayısı \frac{n_1}{n_{1} ! \cdot n_{2} ! \cdot n_{3} ! \cdot \ldots \cdot n_{r} !} ile bulunur.

Kombinasyon (Seçim)

A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine A kümesinin r ‘li kombinasyonu denir.

n, r \in \mathbb{N}, n \geq r olmak üzere n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı (kısaca r ‘li) kombinasyonlarının sayısı C(n, r) ya da \left(\begin{array}{l}n \\ r\end{array}\right) ile gösterilir.
C(n, r)=\left(\begin{array}{l}n \\ r\end{array}\right)=\frac{n !}{r ! \cdot(n-r) !} olur.

Kombinasyon sayısı ile farklı gruplamaların sayısı kastedilir. Kombinasyon sayısının hesaplanmasında kümenin elemanlarının sıralama sayısı değil bu elemanların seçilebilme sayısı önemlidir.

\mathrm{n}, \mathrm{r} \in \mathbb{N}, \mathrm{n} \geq \mathrm{r} olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı permütasyonlarının sayısı ile r elemanlı kombinasyonlarının sayısı arasında P(n, r)=C(n, r) \cdot r! eşitliği vardır.

n elemanlı bir kümenin 0 elemanlı alt küme sayısı,
\left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right)=\frac{n !}{0 ! \cdot(n-0) !}=\frac{n !}{n !}=1 \quad(n \in \mathbb{N})

n elemanlı bir kümenin n elemanlı alt küme sayısı,
\left(\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right)=\frac{n !}{n ! \cdot(n-n) !}=\frac{n !}{n ! \cdot 1}=1 \quad(n \in \mathbb{N})

n elemanlı bir kümenin 1 elemanlı alt küme sayısı,
\left(\begin{array}{l}n \\ 1\end{array}\right)=\frac{n !}{1 ! \cdot(n-1) !}=\frac{n \cdot(n-1) !}{(n-1) !}=n

\quad(n \in \mathbb{N} ve n \geq 1)

n, r \in \mathbb{N}, n \geq r olmak üzere C(n, r)=C(n, n-r) eşitliği vardır.

n, bir kümenin eleman sayısı olmak üzere

\left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ 2\end{array}\right)+\ldots+\left(\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right)=2^n olur.

Pascal Üçgeni

Pascal üçgeninin tepesinde 1 sayısı bulunmaktadır.
Her satırdaki eleman sayısı bir önceki satırdaki eleman sayısından 1 fazladır.
Her satır 1 ile başlar ve 1 ile biter. Diğer sayılar ise bir üst satırdaki kendine komşu olan iki sayının toplamıdır.
Pascal üçgenindeki her satır verilen bu örüntüye bağlı kalarak devam eder.

 

                                                Pascal Üçgeni

 

Binom Açılımı

(x+y)^2=x^2+2xy+y^2

Birincinin karesi, ARTI birinci ile ikincinin çarpımının iki katı, ARTI ikincinin karesi

(x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3

birincinin küpü ARTI üç tane birincinin karesi çarpı ikinci ARTI üç tane birinci çarpı ikincinin karesi ARTI ikincinin küpü

(a+b) ^{10} ifadesinin açılımının bulunmasında ise bu yöntemin uygulanmasının zor olacağı için, kuvvetleri 4 ve 4 ten büyük olan ifadelerin açılımında aşağıdaki yöntemin uygulanması daha uygun olur.

x+y \neq 0 ve n \in \mathbb{N} olmak üzere (x+y)^n ifadesinin

(x+y)^n=\underbrace{\left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right) \cdot x^{n-0} \cdot y^0}_{\text {1. terim }}+\underbrace{\left(\begin{array}{c}n \\ 1\end{array}\right) \cdot x^{n-1} \cdot y^1}_{\text {2. terim }}+\underbrace{\left(\begin{array}{l}n \\ 2\end{array}\right) \cdot x^{n-2} \cdot y^2}_{\text {3. terim }}+\ldots . \underbrace{\left(\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right) \cdot x^{n-n} \cdot y^n}_{(n+1) \cdot \text { terim }}

şeklindeki açılımına binom açılımı denir.

Baştan (r+1). terim aynı zamanda sondan (n-r+1). terimdir (r \leq n) ve (r \in \mathbb{N}) (Bu açılım x ‘in azalan, y ‘nin artan kuvvetlerine göre yapılmıştır).

(x+y)^n ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre açıldığında baştan (r+1). terim \left(\begin{array}{c}n \\ r\end{array}\right) \cdot x^{n-r} \cdot y^r olur.

x+y \neq 0 ve n \in \mathbb{N} olmak üzere (x+y)^n ifadesinin açılımında,

  • (n+1) tane terim vardır.
    Her bir terimdeki x ve y değişkenlerinin üsleri toplamı n dir.
    Katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 sayısı yazılır.
    Sabit terimi bulmak için değişkenler yerine 0 sayısı yazılır.

x, y \in \mathbb{R} ve n \in \mathbb{N} olmak üzere (x+y)^n ifadesinin x ‘in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki

  • Baştan (r+1) ‘inci terim \left(\begin{array}{l}n \\ r\end{array}\right)(x)^{n-r} \cdot(y)^r dir.
    Sondan (r+1) ‘inci terim \left(\begin{array}{l}n \\ r\end{array}\right)(x)^r \cdot(y)^{n-r} dir.
    n çift sayı ise (x+y)^n açıımında, ortadaki terim bulunurken r=\frac{n}{2} alınır. n, tek sayı ise terim sayısı n+1 tane, yani çift sayıda olacağından ortadaki terim olmayacaktır.

Basit Olayların Olasıklıkları

E,
Örnek uzay denir ve E şeklinde okunur.
P(A),
A olayının gerçekleşme olasığını ifade eder ve P parantez içi A olarak okunur.
P\left(A^{\prime}\right)
A olayının çıktılarının dışında örnek uzayın bütün çıktılarını içeren olayı ifade eder ve P parantez içi A üstü virgül olarak okunur.

Örnek Uzay, Deney, Çıktı, Bir Olayın Tümleyeni, Kesin Olay, İmkânsız Olay, Ayrık Olay ve Ayrık Olmayan Olay

Tekrarlanabilen ve her farklı tekrardan farklı sonuçlar elde edilebilen süreçlere deney denir. Bir deneyde elde edilen sonuçların her birine o deneye ait çıktı denir.  Havaya madeni para atma bir deneyinde, yere düşen madeni paranın üst yüzündeki “yazı” ya da “tura” sonuçları bu deneye ait çıktılardır. Bir deneyin bütün çıktıların bulunduğu kümeye o deneyin örnek uzayı denir. Örnek uzay, genellikle E ile gösterilir. Örnek uzayın her bir alt kümesine olay denir. A olayının çıktılarının dışında örnek uzayın bütün çıktılarını içeren olaya A olayının tümleyeni denir ve A^' ile gösterilir.

Bir madeni paranın bir defa atılması deneyindeki basit olaylar \{yazı\} ve \{tura\} olur.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Tüm rakamların yazılı olduğu bilyeler bir torbaya konuluyor. Torbadan “rastgele” bir bilye çekilip üzerinde yazılan sayıya bakılıyor. Bu işlem bir deneydir.
Torbadaki tüm bilyelerde yazan rakamlar, örnek uzayı oluşturur. Örnek uzay kümesi;
E=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} dur ve örnek uzayın eleman sayısı s(E)=10 olur.
Torbadan çekilen bilyelerin üzerinde çift rakam yazma olayı, A ise,
A=\{0,2,4,6,8\} ve s(A)=5 olur. Torbadan çekilen bir bilyenin üzerinde 7 rakamının yazması, bir basit olaydır.
Torbadan çekilen bir bilyenin üzerinde asal sayı yazması olayı,
B=\{2,3,5,7\} ise B olayının tümleyeni, “torbadan çekilen bir bilyenin üzerinde asal sayı yazmaması” olayıdır. Bu olay, \mathrm{B}^{\prime}=\{0,1,4,6,8,9\} şeklinde yazılır. s(B)+s\left(B^{\prime}\right)=s(E) olduğuna dikkat ediniz.

n tane madenî paranın birlikte atılması deneyi ile bir madenî paranın n defa atılması deneyinin örnek uzayı aynıdır ve 2^n elemanlıdır.
n tane zarın birlikte atılması deneyi ile bir zarın n defa atılması deneyinin örnek uzayı aynıdır ve 6^n elemanlıdır.

Aynı örnek uzaydaki bir olaya ait olası durumların sayısı, başka bir olaya ait olası durumların sayısına eşit ise bu olaylara eş olası olaylar, eşit değil ise eş olası olmayan olaylar denir.

Ortak elemanları olmayan kümeler ile temsil edilen olaylara ayrık olaylar denir. A ve B ayrık iki olay ise  \mathrm{A n B} = \varnothing  olur.

İki olayın ortak elemanı varsa bu olaylara ayrık olmayan olaylar denir. A ve B ayrık olmayan iki olay ise \mathrm{A n B} \neq \varnothing  olur.

Olasılık Kavramı ile İlgili Uygulamalar

Her bir çıktısının gelme şansı eşit olan örnek uzay E ve bu örnek uzayın bir olayı A olmak üzere A olayının gerçekleşme olasılığı P(A) ile gösterilir.

P(A)=\frac{\text { A olayının eleman sayısı }}{\text { Örnekuzayın eleman sayısı }}=\frac{S(A)}{s(E)} \text { ile bulunur. }

Bu durum eş olası olmayan olaylar için geçerli değildir.

Bir A olayının olma olasılığı en az 0 , en çok 1 olur. 0 \leq \mathrm{P}(\mathrm{A}) \leq 1 olur.

Olasılığı 0 olan olaylara imkânsız olay, 1 olan olaylara kesin olay denir.

Bir para atma deneyinde elde edilen basit olayların olasılıkları eşit ise bu para hilesizdir denir. Aynı durum zar atma deneyi için de geçerlidir.

A ve B ayrık iki olay ise A veya B olayının olma olasılığı bu olayların olasılıkları toplamıdır.

P(A veya B) = P(A U B) = P(A) + P(B) olur.

A ve B ayrık olmayan iki olay ise

P(A veya B) = P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A n B) olur.

Örnek uzayın herhangi bir A olayının tümleyeni A^{\prime} olmak üzere P(A)+P\left(A^{\prime}\right)=1 olur.

Sayma ve Olasılık Terimleri ve Kavramları

  • Toplama Yöntemi
  • Çarpma Yöntemi
  • Faktöriyel
  • Permütasyon
  • Tekrarlı Permütasyon
  • Kombinasyon
  • Pascal Üçgeni
  • Binom Açılımı
  • Örnek Uzay, Olay, Deney, Çıktı
  • Kesin Olay, İmkansız Olay
  • Ayrık Olay, Ayrık Olmayan Olay
  • Bir Olayın Tümleyeni
  • Olasılık

 

 

Bir Yorum Yazın

Yukarıdaki yazıyı nasıl buldunuz? Lütfen yorum yapın ve bizi değerlendirin.